为什么matlab没有为16KHz的采样频率提供8KHz的正弦波？

Question

我有以下matlab代码，我试图在16KHz采样频率下获得64个不同正弦波频率的样本：

close all; clear; clc;
dt=1/16000;
freq = 8000;
t=-dt;
for i=1:64,
t=t+dt;a(i)=sin(2*pi*freq*t);
end
plot(a,'-o'); grid on; 

对于freq = 1000，输出图形为

图表似乎正常到2000，但在3000，图表是

我们可以看到每个周期中振幅的变化

同样，在4000处，图表为

不完全是一个正弦波，但是在每个周期中振幅都是预期的，如果我播放它听起来像一个单一的频率音调

但是在6000我们还有

在8000我们有

由于采样频率是16000，我假设我应该能够生成高达8000的正弦波样本，而我期望我得到的图表在4000处出现在8000处。相反，即使在3000，图表也开始看起来很奇怪

如果我将采样频率更改为32000并将正弦波频率更改为16000，我会获得与现在8000相同的图形。为什么matlab会以这种方式运行？

编辑：

at freq = 7900

Answer 1

这只是别名的神器。请注意8kHz图的垂直轴如何仅达到1.5E-13？理想情况下，图表应全为零;你所看到的是四舍五入错误。

查看以16kHz计算样本的表达式：

x(n) = sin(2 * pi * freq * n / 16000)

x是信号，n是整数样本编号，freq是以赫兹为单位的频率。因此，当freq为8kHz时，它等同于：

x(n) = sin(2 * pi * 8000 * n / 16000) = sin(pi * n)

因为n是一个整数，sin(pi * n)将始终为零。因此，8kHz被称为 Nyquist 频率，采样率为16kHz;通常，奈奎斯特频率始终是采样频率的一半。

在3kHz时，信号＆＃34;看起来很奇怪＆＃34;因为有些峰值处于16kHz的非整数倍，因为16不能被3整除。对于6kHz信号也是如此。

它们仍然听起来像纯正弦音的原因是因为样本之间的幅度插值。该图使用简单的线性插值，给出了样本边缘粗糙的印象。然而，物理扬声器（更确切地说，驱动它的电路）不直接使用线性插值。相反，使用一个小滤波器电路来平滑那些刺耳的边缘（又名抗锯齿），它消除了上述奈奎斯特频率以上的人为频率。

Answer 2

这是matlab的问题，但却是抽样的本质。

16KHz采样每秒产生16K（16,000）个采样数据。 8KHz信号每秒钟有8K（8000）个周期。所以每个周期有两个样本数据。

两个是每个周期的最小数据量。这是“采样定理”的一部分。

让我们尝试在图表上显示两个带有三个点的循环，您可能会理解，不可能通过三个点显示两个循环。同样，您不能通过（2N-1）点显示2N个周期。

Answer 3

8 kHz所见的效果是因为所有其他答案已经提到了混叠效应，并且由于8 kHz的正弦波为sin(2*pi*n*8000*1/16000) = sin(n*pi)而产生，这在Drew McGovens answer中有所解释。幸运的是，幅度并不是定义信号的唯一参数。完全定义信号所需的另一个参数是阶段。这意味着在对信号进行傅立叶分析时，仍然可以找到正确的频率。尝试：

close all; clear; clc;
dt=1/16000;
freq = 7300;
t=-dt;
for i=1:64,
    t=t+dt;a(i)=sin(2*pi*freq*t);
end
plot(a,'-o'); grid on;
figure; plot( linspace(1,16000,1000), abs(fft(a)) );

旁注：有些人可能反对使用i作为索引变量，因为它也可以用作想象数i。就个人而言，我没有反对使用i，因为运行时和开销仅受到轻微影响，我总是使用1i。但是，只需确保对假想单位使用1i。