多维网格的逆插值

Question

我正在开展内插示例数据{(x_i,y_i)}的项目，其中x_i的输入域位于4D空间中，输出y_i位于3D空间中。我需要为两个方向生成两个查找表。我设法生成4D -> 3D表。但3D -> 4D一个很棘手。样本数据不在常规网格点上，并且不是一对一映射。有没有任何已知的方法来治疗这种情况？我在线进行了一些搜索，但我发现只有3D -> 3D映射，这不适合这种情况。谢谢！

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回答Spektre的问题：

X(3D) -> Y(4D)就是1X -> nY

我想生成一个表格，对于任何给定的X，我们都可以找到Y的值。示例数据不占用X的所有域。但它很好，我们只需要准确的样本数据域内的点。例如，我们有像{(x1,x2,x3) ->(y1,y2,y3,y4)}这样的示例数据。我们也可能有一个样本数据{(x1,x2,x3) -> (y1_1,y2_1,y3_1,y4_1)}。但没关系。我们需要一个适用于(a,b,c)空间X的表格，它对应于空间(e,f,g,h)中的一个Y。可能有多个选择，但我们只需要一个。 （对不起，如果有符号混淆的话）

解决这个问题的一种可能方法：由于我已经建立了Y->X的平滑映射，我可以使用牛顿方法或任何其他方法来反向搜索点y任何给定的x。但它不够准确，而且耗时。因为我需要搜索表中的每个点，错误是模型错误与搜索错误的总和。

所以我想知道可以直接找到一个映射来插入样本数据，而不是在3中进行这种搜索。

Answer 1

1. 您正在寻找投影/映射

   正如您所提到的，您的投影X(3D) -> Y(4D)在您的案例中并非一对一，那么(1 X -> n Y)或(n X -> 1 Y)或(n X -> m Y)是什么情况？

2. 您想使用查找表

   我假设您只想为给定的X生成所有Y非(1 to 1)映射的问题是您只能使用查找表

   • 所有有效点
   • 或映射具有一些几何或数学对称性（例如X和Y空间中的点之间的距离相似，并且映射是连续的）

   你不能在通用映射点之间进行插值，所以问题是你想要的是什么样的映射/投影？

3. 首先是1＆gt; 1投影/映射插值

   1. 如果您的X->Y投影映射适合插值

      然后3D->4D使用三线插值。查找距离最近的8点（每个点在其轴上以形成网格超立方体）并在所有4维度中进行插值

   2. 如果您的X<-Y投影映射适合插值

      然后4D->3D使用四线性插值。找到最接近的16点（每个点在其轴上以形成网格超立方体）并在所有3维度中进行插值。

4. 现在1->n或n->m投影/映射

   这完全取决于我不知道的投影/映射属性。尝试提供数据集的示例，添加一些图像将是最好的。

[edit1] 1 X＆lt; - n Y

我仍然会使用四线性插值。您仍然需要搜索Y表，但如果将其分组为4D网格，那么它应该很容易。

1. 在16 - 表中找到Y最近的点到您的输入Y点

   这些点应该是所有轴的每个Y方向上与+/-最近的点。在3D中它看起来像这样：

   

   • 红点是您的输入Y点
   • 蓝点是找到的最近点（网格），它们不需要像图像那样对称。

   请不要让我画出4D有意义的例子:)（至少对于清醒的头脑）

2. <强>插值

   找到相应的X点。如果每个点有一个以上，那么选择更接近的一个......现在你应该有16 X分和16+1 Y分。然后从Y点开始，您只需要计算输入Y点的直线距离。这些距离用作线性插值的参数。将它们标准化为<0,1>其中

   • 0表示'左'，1表示'右'点
   • 0.5表示确切的中间

   每个Y - 域维度都需要此标量距离。现在只需计算线性插值中的所有X点，直到获得X - 域中的相应红点。

   使用三线插值（3D），有4+2+1=7个线性插值（如图像所示）。对于四线性插值（4D），有8+4+2+1=15线性插值。

3. 线性插值

   X = X0 + (X1-X0)*t
   

   • X是插值点
   • X0,X1是'左'，'右'点
   • t是距离参数<0,1>