FFT实/虚/ abs部分解释

Question

我目前正在学习离散傅立叶变换，而且我正在玩numpy来更好地理解它。

我试图策划一个＆＃34; sin x sin x sin＆＃34;信号并获得具有4个非零点的干净FFT。我天真地告诉自己：＆＃34;好吧，如果我策划了一个＆＃34;罪恶+罪恶+罪恶+罪恶＆＃34;有这些幅度和频率的信号，我应该得到相同的＆＃34; sin x sin x sin＆＃34;信号，对吧？

嗯......不完全是

（首先是＆＃34; x＆＃34;信号，第二个是＆＃34; +＆＃34;信号）

两者共享相同的幅度/频率，但不是相同的信号，即使我可以看到它们有一些相似之处。

好的，因为我只绘制了FFT的绝对值，我想我丢失了一些信息。

然后我绘制了两个信号的实部，虚部和绝对值：

现在，我很困惑。我该怎么办？我从数学的角度阅读有关DFT的内容。我知道复杂的价值来自单位圈。我甚至不得不了解希尔伯特的空间，以了解它是如何工作的（这很痛苦！......而且我只是划伤了表面）。我只想了解这些真实/虚构的情节是否在数学世界之外有任何具体的意义：

• abs（fft）：频率+幅度
• real（fft）：？
• imaginary（fft）：？

代码：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
N = 512 # Sample count
fs = 128 # Sampling rate
st = 1.0 / fs # Sample time
t = np.arange(N) * st # Time vector

signal1 = \
1   *np.cos(2*np.pi * t) *\
2   *np.cos(2*np.pi * 4*t) *\
0.5 *np.cos(2*np.pi * 0.5*t)

signal2 = \
0.25*np.sin(2*np.pi * 2.5*t) +\
0.25*np.sin(2*np.pi * 3.5*t) +\
0.25*np.sin(2*np.pi * 4.5*t) +\
0.25*np.sin(2*np.pi * 5.5*t)



_, axes = plt.subplots(4, 2)

# Plot signal
axes[0][0].set_title("Signal 1 (multiply)")
axes[0][0].grid()
axes[0][0].plot(t, signal1, 'b-')

axes[0][1].set_title("Signal 2 (add)")
axes[0][1].grid()
axes[0][1].plot(t, signal2, 'r-')

# FFT + bins + normalization
bins = np.fft.fftfreq(N, st)    
fft  = [i / (N/2) for i in np.fft.fft(signal1)]
fft2 = [i / (N/2) for i in np.fft.fft(signal2)]

# Plot real
axes[1][0].set_title("FFT 1 (real)")
axes[1][0].grid()
axes[1][0].plot(bins[:N/2], np.real(fft[:N/2]), 'b-')

axes[1][1].set_title("FFT 2 (real)")
axes[1][1].grid()
axes[1][1].plot(bins[:N/2], np.real(fft2[:N/2]), 'r-')

# Plot imaginary
axes[2][0].set_title("FFT 1 (imaginary)")
axes[2][0].grid()
axes[2][0].plot(bins[:N/2], np.imag(fft[:N/2]), 'b-')

axes[2][1].set_title("FFT 2 (imaginary)")
axes[2][1].grid()
axes[2][1].plot(bins[:N/2], np.imag(fft2[:N/2]), 'r-')

# Plot abs
axes[3][0].set_title("FFT 1 (abs)")
axes[3][0].grid()
axes[3][0].plot(bins[:N/2], np.abs(fft[:N/2]), 'b-')

axes[3][1].set_title("FFT 2 (abs)")
axes[3][1].grid()
axes[3][1].plot(bins[:N/2], np.abs(fft2[:N/2]), 'r-')

plt.show()

Answer 1

对于每个频率仓，幅度 sqrt(re^2 + im^2)会告诉您相应频率的分量幅度。 阶段 atan2(im, re)告诉您该组件的相对阶段。除非您对数据窗口中心周围的对称属性感兴趣（甚至是奇数），否则实部和虚部本身并不是特别有用。

Answer 2

对于某个参考点，例如固定时间窗口的中心，相同频率的正弦波和余弦波看起来会不同（相对于任何固定时间参考点具有不同的起始相位）。它们也将在数学上与任何整数周期宽度正交，因此可以表示变换的独立基矢量分量。

FFT结果的实部是每个频率分量与余弦波相似的程度，虚部，每个分量与正弦波的相似程度。正弦和余弦分量的各种比率允许人们构造任意或所需相位的正弦波，从而使FFT结果完整。

单独的量级无法区分正弦和余弦波之间的差异。 IFFT（图像（FFT））会使具有与纯余弦不同相位的任何信号的重建搞乱。与IFFT（re（FFT））和纯正弦波（相对于FFT孔径窗口）相同。

Answer 3

您可以将信号1（由三个cos函数的乘积组成）转换为四个cos函数的总和。这与函数2有所不同，函数2是四个正弦函数的总和。

cos函数是偶函数cos（-x）== cos（x）。 偶函数的傅立叶变换纯粹是真实的。 这就是为什么函数1的fft的虚部的图只包含接近零（1e-15）的值的原因。

正弦函数是奇函数sin（-x）== -sin（x）。 奇函数的傅立叶变换是纯虚数。 这就是为什么函数2的fft实部的图只包含接近于零（1e-15）的值的原因。

如果您想更详细地了解FFT和DFT，请阅读电气工程信号分析教科书。

Answer 4

尽管...您现在必须是一个好专家:) 对于其他人：请注意 with this set of Correct mathematical equation 因此将总和更正为：

    signal1 = \
1   *np.cos(2*np.pi * t) *\
2   *np.cos(2*np.pi * 4*t) *\
0.5 *np.cos(2*np.pi * 0.5*t)

signal2 = \
0.25*np.cos(-2*np.pi * 2.5*t) +\
0.25*np.cos(2*np.pi * 3.5*t) +\
0.25*np.cos(-2*np.pi * 4.5*t) +\
0.25*np.cos(2*np.pi * 5.5*t)

现在给出以下结果

(Now results are)

重点是真实部分也应该相同