Question

我有以下定义：

definition someRel :: "nat rel"
where
  "someRel = {(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5)}"

我想证明以下问题：

lemma "someRel^*``{1}={1, 2, 3, 4, 5}"

我设计了以下证据：

proof 
  show "someRel^*``{1} ⊆ {1, 2, 3, 4, 5}" 
  proof 
    fix x
    assume "x ∈ someRel⇧* `` {1}"
    then show "x ∈ {1, 2, 3, 4, 5}"
      using assms someRel_def by (auto elim: rtranclE)
  qed
next
  show "{1, 2, 3, 4, 5} ⊆ someRel^*``{1}" 
  proof 
    fix x
    assume "x ∈ {1::nat, 2, 3, 4, 5}"
    then show "x ∈ someRel⇧* `` {1}" 
      using assms someRel_def Image_singleton by (induction) blast+
  qed
qed

此证明存在以下问题：

使用该规则证明了第一部分（show "someRel^*``{1} ⊆ {1, 2, 3, 4, 5}"） rtranclE。如果我再添加一对someRel关系（例如对(6, 7)）
第二部分（show "{1, 2, 3, 4, 5} ⊆ someRel^*``{1}"）的证明不会终止。

有人能提出更好的证据吗？（a）允许someRel关系中的更多对和（b）终止。

Answer 1

事实证明，对于您的特定实例（以及我尝试的一些稍微大一些），以下内容足够（首先应用auto然后对其余目标运行sledgehammer以确定有用的事实，如converse_rtrancl_into_rtrancl这里）：

by (auto simp: someRel_def converse_rtrancl_into_rtrancl elim: rtranclE)

但是，一般情况下，最好执行以下操作之一：

设备一种策略来证明这些目标（通过实际计算所涉及的传递闭包）
计算Isabelle / HOL内部的传递闭包（通过simp - 可能很慢 - 或通过eval - 据我所知，它是一种神谕）。

对于后者的AFP条目 Executable Transitive Closures可能会引起人们的兴趣。

更新：我添加了一个simproc的例子，通过评估AFP的开发版本来计算有限集上有限传递闭包的图像。但是，我根据示例而不是可执行传输闭包 Executable Transitive Closures of Finite Relations。你的例子可以在理论的最后找到 Finite_Transitive_Closure_Simprocs（一旦AFP网站与底层的mercurial存储库同步）。

更新：请注意，上面提到的simproc专门针对r^* `` x形式的模式，其中集合r和x在某种意义上是有限的它们以有限集合符号{x1, x2, ..., xN}给出。因此，为了触发特定目标，您可能必须添加其他事实/简单规则/ simprocs / ...以便将表达式规范化为此形式。

示例：如果您有目标

"(converse someRel)^* `` {1} = {1}"

你必须添加实际上适用的规则＆＃34;给定有限集上的converse运算。以下是：

lemma [simp]:
  "converse (insert (x, y) A) = insert (y, x) (converse A)"
  by auto

现在可以通过

  by (auto simp: someRel_def)

Answer 2

添加到Chris的答案，这里是一个完整版本，它使用AFP条目进行传递闭包，并使用code-simp代替eval。 code-simp比eval慢一点，但不依赖于神谕。

theory Test
imports "$AFP/Transitive-Closure/Transitive_Closure_List_Impl"
begin

lemma to_memo_list: "(set xs)^* `` {a} = set (memo_list_rtrancl xs a)"
  unfolding memo_list_rtrancl Image_def by auto

definition someRel :: "nat rel"
where
  "someRel = {(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5), (5,3)}" 

definition someRel_list :: "(nat × nat)list"
where
  "someRel_list = [(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5), (5,3)]" 

lemma someRel_list: "someRel = set someRel_list" by code_simp

lemma "someRel^*``{4}={3, 4, 5}"
  unfolding someRel_list to_memo_list by code_simp

end

计算传递闭包

2 个答案: