Question

我想生成一个矩形矩阵A，在闭区间[0,1]中有条目，它满足以下属性：

(1) size(A) = (200,2000)
(2) rank(A) = 50
(3) nnz(A) = 100000

最好是A中的非零元素会以指数方式衰减，或者至少是多项式衰减（我希望显着小于大值）。显然（我认为......），最终归一化到[0,1]并不是这里的主要问题。

我尝试的东西不起作用：

首先使用A=abs(randn(200,2000))和阈值
生成随机矩阵
```
th = prctile(A(:),(1-(100000/(200*2000)))*100);
A = A.*(A>th);
```
现在满足属性(3)，我降低了等级
```
[U,S,V] = svd(A);
for i=51:200 S(i,i)=0; end
A = U*S/V;
```
但是这个矩阵几乎已经完全基数（我失去了(3)}。
首先使用A=rand(200,50)*rand(50,2000)生成具有指定等级的矩阵。现在满足条件(2)，我像以前一样骚扰。直到现在我丢失了属性(2)，因为矩阵几乎已经完全排名。

那么......有没有办法确保同时满足属性(2)和(3)？

P.S。我希望矩阵中的非零条目以某种随机/非结构方式分布（只需要制作50个非零列或行就不是我的目标......）。

Answer 1

这满足所有条件，概率非常高：

A = zeros(200,2000);
A(:,1:500) = repmat(rand(200,50),1,10);

然后，如果需要，您可以填充非零列：

A = A(:,randperm(size(A,2)));

矩阵具有垂直结构：在500列中，所有元素都是非零，而在剩余的1500列中，所有元素都是零。（不确定这是否可以接受）。

Answer 2

琐碎的方法：

>> A= rand(200,50);
>> B= zeros(200,1950);
>> A = [A B];
>> A = A(:,randperm(size(A,2)));
>> rank(A)

ans =

    50

>> nnz(A)

ans =

       10000