Question

给定f :: a -> a类型的函数，我们可以生成一个适用f n次的函数：

nTimes :: Int -> (a -> a) -> (a -> a)
nTimes 0 _ = id
nTimes 1 f = f
nTimes n f = f . nTimes (n-1) f

我可以在这里使用exponentiating by squaring方法来实现另一个nTimes函数：

nTimes' :: Int -> (a -> a) -> (a -> a)
nTimes' = nTimes'' id
    where
        nTimes'' acc n f
            | n == 0    = acc
            | even n    = nTimes'' acc (n `div` 2) (f . f)
            | otherwise = nTimes'' (acc . f) (n-1) f

我的问题是：

nTimes和nTimes'是否会产生相同的结果？
nTimes'会更快吗？

Answer 1

虽然等同于，但如果在任何实际情况下ntimes'实际上更快或节省内存，我会感到非常惊讶。问题是，与x * x通过平方加倍普通求幂不同，f . f实际上并不共享在应用f时完成的任何真实工作。最后还是将最外面的单f应用于由所有余数以某种方式构造的参数。并且ntimes (n-1) f x将是关于你可以拥有的最紧凑的表示，直到它本身实际上需要被评估，这将需要将其最左边的f应用于代表ntimes (n-2) f x等。

编辑：让我补充一点，如果您正在进行 memoization ，这可能会发生显着变化，即将f . f替换为memo (f . f)，以修改一个修改要记住的函数的memo-combinator结果。在这种情况下，可以共享实际工作，这个版本的ntimes' 可能有时候会有所改进。其他时候，它可能会浪费大量的内存。

Answer 2

在两种情况下都会产生相同的结果，因为*和.都是关联运算符。

然而，“加速”并不是你想到的加速。通过平方取幂是好的，因为它减少了*运算符的应用次数，从线性到对数次数。在这种情况下，您将减少应用.运算符的次数，从线性到对数次数。

然而，像ØrjanJohansen所说，与*不同，.运算符并没有真正做太多 - 它只需要两个函数值，并输出一个新的函数值，它基本上包含了给出了两个函数加上一些代码。

从nTimes'获得的结果函数，当应用于某个值时，必须仍然运行f n次。因此，实际上运行结果函数没有任何改进，只是使用. 构造结果函数的过程得到了改进。

Answer 3

nTimes和nTimes＆＃39;总是产生相同的结果？

是。（除非你有bug，否则不检查）。

nTimes＆＃39;更快？

可能不显着。 f本身在两种情况下都是共享的，因此没有重新计算。

如果f不够懒惰，那么您正在构建一个对f的引用列表与一个共享f引用的树的引用，因此您在这里节省了一些内存

使用“通过平方取幂”可以“应用n次函数”吗？

3 个答案: