Question

我目前正在观看关于算法的ocw视频课程，在第二讲课中我坚持认为教授通过归纳证明以下陈述： -

N = O（1）

proof:-    

For base case    
1=O(1)    
suppose n-1 = O(1)    
=> 1+(n-1)=O(1)+O(1)     
=> n=O(1).    
hence it is proved.

但教授告诉我们，我们不能引导Big-O而且上述证据不正确，但为什么呢？

Answer 1

您可以导入Big-O，但当n是变量而不是常量时，给定的归纳过程不正确。

当你写1 = O(1)时，解释将是

if f_1(n) = 1 for all n then f_1(n) = O(1)

这是正确的。

现在，如果我们为所有f_a(n) = a定义n，那么通过归纳，我们可以证明f_a(n) = O(1)适用于所有a，这也是正确的。

但如果n不是常数而是变量，则由于您的归纳而无法获得n = O(1)，因为k没有f_k(n) = n n对于所有{{1}}。

Answer 2

数学归纳是一种证明由整数参数化的语句的工具。它不能应用于这种情况，因为你正在研究的语句改变了一半：你以常数1作为基本情况，然后假设一个关于函数的声明 f（n）= n- 1。

证明任何常数 n在O（1）中都是正确的。

Answer 3

基本上，数学归纳是一种工具，可以从众所周知的位置进一步获得可控制的步骤。这不一定是n → n+1或n → 2⋅n之类的步骤，但很可能就是这样。在大多数情况下，问题是，可控制的步骤具有恒定的大小，因此在Big-O中它只会丢失。

但在某些情况下，您可以在计算复杂性时使用Big-O进行简化，例如

(n+a+1)(n-2⋅b)(n²-3) = n⁴+O(n³)                (for constants a and b)

还有一些情况，您可以看到感应步骤中的复杂性。

示例：
找出f(n) = f(n-1) + f(n-2)的复杂度，其中n≥2且f(0) = f(1) = 1 步骤n → n+1产生

2⋅f(n-1) ≤ f(n+1) ≤ 2⋅f(n)

基本上，+1的大小加倍。您需要n +1来总结n，这会使第一个值加倍n次。开头（f(1)）位于O(1)，因此2ⁿ ⋅ O(1)位于O(2ⁿ)。

最后，在某些情况下，您可以通过归纳来证明复杂性。

示例：
找出n!的复杂性。
证明：1在O(1)。假设(n-1)!位于O(1)。然后

n! = n⋅(n-1)! = n * O(1) = O(n).

该死的，n!不能在O(1)，因为(n+1)!必须也在O(1)，但事实并非如此。接下来尝试：
假设(n-1)!位于O(n^k)。

n! = n⋅(n-1)! = n ⋅ O(n^k) = O(n^k+1)
该死的，又失败了。如果n!位于O(n^k)，则(n+1)!应该在
中
O((n+1)^k) = O(n^k + k⋅n^k-1 + ...[smaller monomials]) = O(n^k)

但对于k = n，这可行，因为对于n!中的O(nⁿ)，(n+1)!应该位于O((n+1)ⁿ⁺¹)中，实际上n!在} O(nⁿ)中，但它不是一个紧密的上限。为了证明更好的复杂性，你必须使用比感应更好的方法。

因此，这是通过使用归纳来抵消复杂性的更多示例。

总的来说，我不会说，没有可以通过归纳证明的复杂性，但在大多数情况下会有更好的方法来证明它。

为什么感应始终不适用于Big-O？

3 个答案: