我有一个数学问题，在olymipad somehwere中有特色，我试图在代码中实现它的问题。问题是，我无法弄清楚这个问题的逻辑。
问题是，
9 ^（9 ^（9 ^（9 ^ ...... 1001次......）））。答案的最后5位是什么？
如果有人能告诉我怎么做，我会很高兴。请记住，由于我需要在代码中实现这一点，因此采用较少步骤并因此在复杂性方面更优化的解决方案对我有利。
但是，如果你有任何方法可以找到正确的解决方案，我也想知道这一点，因为我还没有能够理解这个问题。
答案 0 :(得分：4)
看起来其他一些答案计算9 ^ 1001。这是不提出的问题。这对奥林匹克运动会问题来说太简单了。
定义T（a，n）使得T（a，1）= a，并且T（a，n）= a ^ T（a，n-1）。这称为tetration。问题要求T（9,1001）mod 100,000。
要解决实际问题，使用哪种模数并不明显。 T（a，n）mod m并不总是T（a，n mod m）mod m。例如，T（2,3）= 2 ^ 2 ^ 2 = 2 ^ 4 = 16.T（2,4）= 2 ^ 16 = 65536. Mod 10，你不能只计算T（2,3） mod 10 = 6然后2 ^ 6 mod 10 = 64 mod 10 = 4.T（2,4）= 65536的最后一位是6，而不是4.
然而，你可以计算出9 ^ 2500 = 1 mod 100000，所以9 ^ 100000 = 1 mod 100000。 （通过中国剩余定理，你可以分析9 mod 2 ^ 5和5 ^ 5的幂。）所以，你只需要跟踪T（9，n）mod 2500或100000的值来确定T（9， 1001）mod 100000.计算t = T（9,1000）mod 2500，然后计算powermod（9，t，100000）。
实际上，将n映射到9 ^ n mod 100000的函数快速稳定到45289处的固定点.9 ^ 9 mod 2500是489,9 ^ 489 mod 2500是2289,9 ^ 2289 mod 2500是289 ，9 ^ 289 mod 2500再次是289。由于9 ^ 289 mod 100000为45289，T（9,4），T（9,5），...，T（9,1001）均以45289结尾。
编辑：让我充实Egor Skriptunoff的评论。 9 mod 10 ^ 5周期的幂，周期除以phi（10 ^ 5）= 40000，其中phi是Euler Totient function。所以，我们只需要确定T（9,1000）mod 40000. 9 mod 40000周期的功率，周期除以phi（40000）= 16000，所以我们只需要找到T（9,999）mod 16000等等。因为phi迭代10 ^ 5上的15次是1次，我们知道9 mod mod ^ 15（10 ^ 5）的任何幂的值，因此对于任何更大的T（9,16）= T（9，n）mod 10 ^ 5 ñ