关于余弦相似性的一些问题

Question

昨天我了解到余弦相似度，定义为

可以有效地测量两个向量的相似程度。

我发现这里的定义使用L2范数来标准化A和B的点积，我感兴趣的是为什么不使用{{1的L1范数分母和A分母？

我的老师告诉我，如果我在分母中使用L1范数，那么如果B，则余弦相似度不会为1。然后，我进一步问他，如果我修改余弦相似度定义如下，与原始模型相比，修改后的模型有哪些优缺点？

sim（A，B）=（A * B）/（|| A || 1 * || B || 1）如果A！= B

如果A == B

，则

sim（A，B）= 1

如果有人能给我一些解释，我将不胜感激。

Answer 1

如果你使用了L1-norm，你不再计算余弦。

余弦是几何概念，而不是随机定义。附有一整串数学。 如果使用了L1，则不再测量角度。

另请参阅：Wikipedia: Trigonometric functions - Cosine

注意余弦对L2标准化向量的欧几里德距离是单调的。

Euclidean(x,y)^2 = sum( (x-y)^2 ) = sum(x^2) + sum(y^2) - 2 sum(x*y)

如果 x和y是L2规范化的，那么sum(x^2)=sum(y^2)=1，然后

Euclidean(x_norm,y_norm)^2 = 2 * (1 - sum(x_norm*y_norm)) = 2 * (1 - cossim(x,y))

因此，使用余弦相似性本质上意味着将数据标准化为单位长度。但是也存在计算上的好处，因为sum(x*y)计算稀疏数据的成本更低。

如果L2标准化了您的数据，那么

Euclidean(x_norm, y_norm) = sqrt(2) * sqrt(1-cossim(x,y))

对于问题的第二部分：修复 L1规范并不容易。考虑向量（1,1）和（2,2）。显然，这两个矢量具有相同的角度，因此应具有余弦相似度1。

使用等式，它们将具有相似性(2+2)/(2*4) = 0.5

观察向量（0,1）和（0,2） - 其中大多数人都认为它们应该具有与上述示例相似的相似性（并且余弦确实给出相同的相似性），你的等式产生{{1} }。所以你的相似性与任何直觉都不匹配，是吗？