Question

根据我对依赖类型的了解，我认为它应该是可能的，但我以前从未在一种依赖类型的语言中看到过这样的例子，所以我不确定从哪里开始。

我想要的是形式的功能：

f : [Int] -> (Int -> Bool)
f : [Int] -> (Int -> Int -> Bool)
f : [Int] -> (Int -> Int -> Int -> Bool)

等...

此函数获取n Ints的列表，并返回以Int为参数的arity n的谓词函数。在依赖类型的语言中这种事情是否可行？如何实现这样的事情？

Answer 1

创建不同arity的函数时，通常需要一个从值到类型的函数。在这种情况下，我们需要List ℕ（或简称ℕ - 列表的长度）到Set的函数：

Predicate : ℕ → Set
Predicate zero    = Bool
Predicate (suc n) = ℕ → Predicate n

这允许我们为每个数字创建不同的类型：

Predicate 0 = Bool
Predicate 1 = ℕ → Bool
Predicate 2 = ℕ → ℕ → Bool
-- and so on

现在，我们如何使用Predicate来表达f的类型？由于我们是依赖类型的语言，我们可以在类型中自由使用价值级函数。所以length似乎很自然：

f : (l : List ℕ) → Predicate (length l)

现在，您没有指定任何特定的f，但为了示例，我将实施一个。{让我们说我们想检查相应位置的所有数字（即列表的第一个元素的函数的第一个参数，等等）是否相等。

我选择了一个相当简单的函数，因此实现起来非常简单。但请注意，这些类型的函数使用各种技巧，与用于实现类型类的可变函数（在Haskell中）不同。

如果给出一个空列表，我们只需返回true：

f []       = true

对于非空列表情况，我们创建一个函数，取一个名为n的参数，然后将其与列表的头部（m）进行比较。如果这些数字不相等，我们将快捷方式f的其余部分，并返回一个忽略所有其他数字的函数，只返回false;如果这些数字相等，我们只需继续列表的其余部分：

f (m ∷ ms) = λ n → case m ≟ n of λ
  { (yes _) → f ms
  ; (no  _) → always-false
  }

辅助函数always-false：

always-false : ∀ {n} → Predicate n
always-false {zero}  = false
always-false {suc _} = λ _ → always-false

以下是您的使用方式：

test : Bool
test = f (1 ∷ 2 ∷ 3 ∷ []) 1 2 4  -- false

作为最后的评论：当您没有关于要应用它的参数的任何信息时，这些函数不是很有用。例如，如果您在未知长度的列表上使用f（作为另一个函数的参数），您甚至不能应用＆＃34;谓词＆＃34;一个数字。列表很可能是空的，在这种情况下，谓词是Bool，不能应用于任何内容。

Answer 2

@Vitus已经提出了使用依赖类型的Agda解决方案。在这里，我正在评论Haskell，因为你添加了它的标签。

在Haskell中，我们没有Agda中的依赖类型，因此我们不能在类型中编写length l。然而，我们可以使用自定义列表GADT，它使用Peano naturals公开类型级别列表的长度。

data Z
data S n

data List n a where
   Nil :: List Z a
   Cons :: a -> List n a -> List (S n) a

然后，我们可以使用类型族来计算具有(a -> a -> ... -> Bool)个参数的n类型，其中n是给定的类型级自然。

type family Fun n a
type instance Fun Z     a = Bool
type instance Fun (S n) a = a -> Fun n a

以下是您使用它的方式。以下将列表与提供的“参数列表”进行比较。

equalityTest :: Eq a => List n a -> Fun n a
equalityTest = go True
  where go :: Eq a => Bool -> List n a -> Fun n a
        go b Nil = b
        go b (Cons x xs) = \y -> go (x==y && b) xs

-- *ListGADT> equalityTest (Cons 1 (Cons 2 Nil)) 1 2
-- True
-- *ListGADT> equalityTest (Cons 1 (Cons 2 Nil)) 1 3
-- False

Answer 3

我记得Stephanie Weirich在Agda的arity-generic编程中有一个paper你可能会发现它有用。它比你要求的更进一步，但介绍部分可能提供了一个很好的解释。

你能创建一个以依赖类型语言返回依赖arity函数的函数吗？

3 个答案: