Question

我有一堆坐标，它们是2D平面上夹紧的均匀立方B样条的控制点。我想使用Cairo调用绘制此曲线（在Python中，使用Cairo的Python绑定），但据我所知，Cairo仅支持Bézier曲线。我也知道可以使用Bézier曲线绘制两个控制点之间的B样条曲线，但我无法在任何地方找到精确的公式。给定控制点的坐标，如何导出相应Bézier曲线的控制点？那有什么有效的算法吗？

Answer 1

好的，所以我使用谷歌搜索了很多，我想我想出了一个适合我目的的合理解决方案。我在这里张贴它 - 也许它对其他人也有用。

首先，让我们从一个简单的Point类开始：

from collections import namedtuple

class Point(namedtuple("Point", "x y")):
    __slots__ = ()

    def interpolate(self, other, ratio = 0.5):
        return Point(x = self.x * (1.0-ratio) + other.x * float(ratio), \
                     y = self.y * (1.0-ratio) + other.y * float(ratio))

立方B样条只不过是Point个对象的集合：

class CubicBSpline(object):
    __slots__ = ("points", )

    def __init__(self, points):
        self.points = [Point(*coords) for coords in points]

现在，假设我们有一个开放的均匀立方B样条而不是夹紧的样条。三次B样条的四个连续控制点定义单个Bézier段，因此控制点0到3定义第一个Bézier段，控制点1到4定义第二个段，依此类推。 Bézier样条的控制点可以通过以适当的方式在B样条的控制点之间线性插值来确定。设A，B，C和D为B样条的四个控制点。计算以下辅助点：

找到以2：1的比例划分A-B线的点，让它成为A'。
找出以1：2的比例划分C-D线的点，让它为D'。
将B-C线分成三个相等的部分，让两个点分别为F和G.
找到A'和F之间的点，这将是E。
找到G和D'之间的点，这将是H。

从E到H的Bézier曲线，控制点F和G相当于A，B，C和D点之间的开放B样条。参见this excellent document的1-5节。顺便说一句，上面的方法被称为Böhm算法，如果用适当的数学方法表示，也可以解释非均匀或非立方B样条。

我们必须对B样条的4个连续点的每组重复上述过程，因此最后我们将需要几乎任何连续控制点对之间的1：2和2：1分割点。这是以下BSplineDrawer类在绘制曲线之前所做的事情：

class BSplineDrawer(object):
    def __init__(self, context):
        self.ctx = context

    def draw(self, bspline):
        pairs = zip(bspline.points[:-1], bspline.points[1:])
        one_thirds = [p1.interpolate(p2, 1/3.) for p1, p2 in pairs]
        two_thirds = [p2.interpolate(p1, 1/3.) for p1, p2 in pairs]

        coords = [None] * 6
        for i in xrange(len(bspline.points) - 3):
            start = two_thirds[i].interpolate(one_thirds[i+1])
            coords[0:2] = one_thirds[i+1]
            coords[2:4] = two_thirds[i+1]
            coords[4:6] = two_thirds[i+1].interpolate(one_thirds[i+2])

            self.context.move_to(*start)
            self.context.curve_to(*coords)
            self.context.stroke()

最后，如果我们想绘制夹紧的B样条而不是开放的B样条，我们只需重复三次夹紧B样条的两个端点：

class CubicBSpline(object):
    [...]
    def clamped(self):
        new_points = [self.points[0]] * 3 + self.points + [self.points[-1]] * 3
        return CubicBSpline(new_points)

最后，这就是代码的使用方式：

import cairo

surface = cairo.ImageSurface(cairo.FORMAT_ARGB32, 600, 400)
ctx = cairo.Context(surface)

points = [(100,100), (200,100), (200,200), (100,200), (100,400), (300,400)]
spline = CubicBSpline(points).clamped()

ctx.set_source_rgb(0., 0., 1.)
ctx.set_line_width(5)
BSplineDrawer(ctx).draw(spline)

Answer 2

Converting B-spline curve to Bezier spline curve有帮助吗？

使用Cairo绘制夹紧的均匀立方B样条

2 个答案: