矢量的数值导数

Question

我的矢量的数值导数是x：Nx1，相对于x的相同大小的另一个矢量t（时间）存在问题。 我做了以下（x被选为正弦函数作为例子）：

t=t0:ts:tf;
x=sin(t);
xd=diff(x)/ts;

但答案xd是（N-1）x1，我发现它不计算与x的第一个元素相对应的导数。

有没有其他方法来计算这种衍生物？

Answer 1

您正在寻找我认为的数字gradient。

t0 = 0;
ts = pi/10;
tf = 2*pi;

t  = t0:ts:tf;
x  = sin(t);
dx = gradient(x)/ts

此函数的目的是另一个（向量字段），但它提供diff不具有相同长度的输入和输出向量。

---

  

gradient计算数据点之间的中心差异。为   数组，矩阵或向量，每行有N个值，第i个值为   由

定义

  

计算终点处的梯度，其中i = 1且i = N.   端点值与下一个值之间的单边差异   行内的相邻值。如果指定了两个或更多输出，   梯度还计算沿其他维度的中心差异。   与diff函数不同，gradient返回一个具有相同的数组   元素数量作为输入。

Answer 2

我知道我这里的游戏有点晚了，但你也可以通过数据运行的多项式（三次）样条的导数来得到数值导数的近似值：

function dy = splineDerivative(x,y)

% the spline has continuous first and second derivatives
pp = spline(x,y); % could also use pp = pchip(x,y);

[breaks,coefs,K,r,d] = unmkpp(pp);
% pre-allocate the coefficient vector
dCoeff = zeroes(K,r-1);

% Columns are ordered from highest to lowest power. Both spline and pchip
% return 4xn matrices, ordered from 3rd to zeroth power. (Thanks to the
% anonymous person who suggested this edit).
dCoeff(:, 1) = 3 * coefs(:, 1); % d(ax^3)/dx = 3ax^2;
dCoeff(:, 2) = 2 * coefs(:, 2); % d(ax^2)/dx = 2ax;
dCoeff(:, 3) = 1 * coefs(:, 3); % d(ax^1)/dx = a;

dpp = mkpp(breaks,dCoeff,d);

dy = ppval(dpp,x);

始终保证spline多项式在每个点处具有连续的一阶和二阶导数。我没有测试并将其与使用pchip而不是spline进行比较，但这可能是另一种选择，因为它在每个点上都有连续的一阶导数（但不是二阶导数）。

这样做的好处是不需要步长是均匀的。

Answer 3

有一些方法可以解决您的问题。

首先：您可以扩大您的域名。而不是N，请使用N+1网格点。

第二：根据感兴趣的终点，您可以使用

1. 前进差异：F(x + dx) - F(x)
2. 向后差异：F(x) - F(x - dx)