Question

我有以下功能（Viviani的曲线）：

Phi     = @(t)[ cos(t)^2, cos(t)*sin(t), sin(t) ]

只需检查一下它是否有效：

s = linspace(0,T,1000);
plot3(cos(s).^2, cos(s).*sin(s), sin(s));

如何推导函数Phi（可能是多次），它代表t t从0到2*pi的点Phi中的Viviani曲线？我是否定义diff适合这种衍生物？我已经尝试了Phi，但它没有像我需要的那样保留Phi_d2。

如果二阶导数为t = 0，我需要得到它的值（例如在{{1}}中）。

我怎样才能做到这一点？

Answer 1

您可以通过以下三种方式完成此任务。第一个使用subs，第二个使用symfun，第三个使用complex step differentiation：

% Using subs
syms t
Phi = [cos(t) cos(t).*sin(t) sin(t)];
Phi_d2 = diff(Phi,t)
double(subs(Phi_d2,t,0))

% Using symfun
syms t
Phi(t) = [cos(t) cos(t).*sin(t) sin(t)];
Phi_d2 = diff(Phi,t)
double(Phi_d2(0))

% Using complex step differentiation
Phi = @(t)[cos(t) cos(t).*sin(t) sin(t)];
h = 2^-28;
cdiff = @(f,x)imag(f(x(:)+1i*h))/h;
Phi_d2 = cdiff(Phi,0)

您可以找到执行一阶和二阶复数阶差分on my GitHub: cdiff的函数。请注意，复数阶跃微分对高阶导数不起作用。当一个人只有一个不可微分的函数或需要快速数值一阶导数时，这是最好的。

Answer 2

为了完整起见，数值解决方案不使用任何其他工具箱：

N = 999;
t = linspace(0,2*pi,N+1);
Phi = [cos(t); cos(t).*sin(t); sin(t)];
dPhi = gradient(Phi,2*pi/N)

对于非均匀间隔的参数向量，gradient的第二个参数由间距向量而不是标量定义。（时间或角度矢量是合适的） - 在这种情况下，显然有必要分割尺寸。（虽然我不知道为什么。）

所以或者，尽管没有必要：

dX = gradient(Phi(1,:),t);
dY = gradient(Phi(2,:),t);
dZ = gradient(Phi(3,:),t);
dPhi = [dX; dY; dZ];

计算向量的导数

2 个答案: