具有时间复杂度的递推方程

Question

我真的在努力解决这个递归问题。任何人都可以帮助我解决复发T（n）= 5T（n / 5）+5与基本条件T（1）= 0通过闭式公式？给出n = 5 ^ m，整数m = log5 n。

Answer 1

解决这个问题的一种非建设性的方法：看一下公式，我猜测T（5 ^m ）=（5 ^{m + 1} -5）/ 4 。这可以通过归纳来显示：

对于m = 0是正确的：T（1）= 0

假设m是正确的，我们将其显示为m + 1：T（5 ^{m + 1} ）= T（5 * 5 ^m ）= 5T（5 ^m ）+ 5 = 5 *（（5 ^{m + 1} -5）/ 4）+5 =（5 ^{m + 2} -25 ）/ 4 + 5 =（5 ^{m + 2} -5）/ 4。

因此，所有m都是正确的。

Answer 2

为 n ＆gt; = 0计算T（5 ⁿ ）就足够了。对于的所有其他值x ，T（ x ）将等于T（ y ），其中 y 是小于的5的最大幂x ，因为计算是相同的。 （我假设当你写 n / 5时，你的意思是整数除法，即floor（ n / 5）。）

然后：

T（5 ⁰ ）= 0
T（5 ¹ ）= 5 * 0 + 5 = 5
T（5 ² ）= 5 * 5 + 5 = 5 ² + 5 ¹
T（5 ³ ）= 5 *（5 * 5 + 5）+ 5 = 5 ³ +5 ² + 5 ¹
......导致：
T（5 ⁿ ）= 5 ⁿ + 5 ^n-1 + ... + 5 ² + 5 ¹

，使用高中代数公式（几何级数之和），

T（5 ⁿ ）=（5 ^{n + 1} - 5）/ 4

如果您考虑时间复杂度，请注意T（ x ）总是小于或等于5x / 4.而且因为我们不担心常数用O-notation表达事物的因素，这实质上意味着T（ x ）= O （ x ）。