在主要订单的循环组中查找元素

Question

在给定生成器的情况下，如何检查元素a是否属于主要订单的特定循环组G？现在我只是生成组中的所有元素，将它们保存到容器中并检查元素是否在其中。这是我目前用于生成组中所有元素的代码：

public HashSet<BigInteger> group_elements(BigInteger g, BigInteger q) {

    HashSet<BigInteger> group = new HashSet<BigInteger>();

    BigInteger element = modPow(g,ONE,q);

    for (int i = 2; !group.contains(element); i++) {
        group.add(element);
        element = modPow(g, BigInteger.valueOf(i), q);
    }

    return group;

}

要查看元素是否在组中，我只需检查：

if (group.contains(num)) { ... }

正如您所看到的，语言是Java

Answer 1

也许您有关于该群体的更多信息。

如果你知道由g生成的组G的顺序，并且如果q是素数（你只告诉我们G的阶数是素数，但没有关于q）那么你可以检查元素x是否在G中通过测试

  

1 = x ^ord（G） mod q。

如果q不是素数，那么此测试不起作用。一个反例，将是g = 22，q = 91，x = 53.这里g生成具有元素{1,22,29}的子组。 x也有3阶，但不是g生成的子组的元素。

Answer 2

查看discrete logarithm问题，然后algorithms解决问题。