在MATLAB中求解涉及数十个ceil和floor函数的方程式？

Question

我正在处理一个问题，该问题使用了以下形式的许多方程：

其中q_i（x）是唯一未知的，c_i，C_j，P_j总是正的。我们有两种情况，第一种是c_i，C_j，P_j是整数，还有它们是真实的情况。 C_j＆lt;所有j的P_j

1. 如何在MATLAB中有效地解决这类问题，特别是当迭代次数N在20 - 100之间时？

我正在做的是q_i（x） - c_i（x）必须等于整数的总和。所以我正在对q_i（x）进行详尽的搜索，以满足等式的两端。显然，这在计算上是详尽无遗的。

1. 如果c_i（x）是一个浮点数，这甚至会使问题更难以找到真正的q_i（x）？

更多信息： 这些公式来自论文＆＃34;将抢占阈值集成到固定优先级DVS调度算法＆＃34;杨和林。

由于

Answer 1

总和是阶梯函数。您可以通过计算楼层函数跳转到下一个值的位置来离散化问题;这是每个j的周期性。然后你叠加N＆＃39;节奏＆＃39;＆＃39;＆＃39;＆＃39; （每个都有自己的速度由Pj指定）并获得总和跳跃的所有位置。每个段可以与qi（x）精确地具有0或1个交点。您应该直观地理解问题，如下所示：

f = @(q) 2 + (floor(q/3)*0.5 + floor(q/4)*3 + floor(q/2)*.3);
xx = -10:0.01:10;
plot(xx,f(xx),xx,xx)

对于每个步骤，可以分析检查是否存在交叉点。

jumps = unique([0:3:10,0:4:10,0:2:10]); % Vector with position of jumps
lBounds = jumps(1:end-1); % Vector with lower bounds of stairs
uBounds = jumps(2:end); % Vector with upper bounds of stairs
middle = (lBounds+uBounds)/2; % center of each stair
fStep = f(middle); % height of the stairs
intersection = fStep; % Solution of linear function q=fStep
% Check if intersection is within the bounds of the specific step
solutions = intersection(intersection>=lBounds & intersection<uBounds)

2.3000    6.9000

Answer 2

您可以使用bisection method以数字方式查找几乎所有行为良好函数的零。

1. 通过将所有内容移动到等号的一侧，将等式问题转换为零发现问题。然后找x: f(x)=0。
2. 应用二分法方程求解器。

就是这样！或者可能是......

• 如果您有特定的根部应该落入的范围，那么只需对每个范围执行二分法。如果没有，你仍然需要给出一个最大估计值（你不想尝试一些大于此值的数字），并将其作为范围。
• 此方法的问题是，对于每个给定范围，它只能找到一个根，因为它总是选择范围的左半部分（或右半部分）。如果P_j是整数，那就没问题，因为你总能找到函数的最小步长。假设P_j = 1，那么只有大于1 的q_i 的变化才会导致另一个段（因此可能是不同的根）。否则，在小于1的每个范围内，将存在至多一个解决方案。
• 如果P_j是一个任意数字（例如1e-10），除非你对P_j有一个下限，否则很可能你不幸运，因为你无法判断该函数跳得有多快，这实际上意味着f(x)不是一个行为良好的函数，因此很难解决。