Question

我正在写一个sokoban解算器，用于娱乐和练习，它使用一种简单的算法（类似于BFS，但有点不同）。

现在我想估计它的运行时间（O和omega）。但需要知道如何计算网络中从顶点到另一个的非循环路径的计数。实际上，我想要一个表达式来计算m * n顶点矩阵的两个顶点之间的有效路径计数。

有效路径：

访问每个顶点0或一次。
没有电路

例如，这是一个有效的路径：

alt text http://megapic.ir/images/f1hgyp5yxcu8887kfvkr.png

但这不是：

alt text http://megapic.ir/images/wnnif13ir5gaqwvnwk9d.png

我们需要一种方法来查找两个顶点 a 和 b 之间所有非循环路径的计数。

欢迎对解决方法和技巧的评论。

Answer 1

计算图表中简单路径数量的一般问题是#P完成。一些＃P完全问题具有完全多项式随机化近似方案，有些则没有，但您声称对近似不感兴趣。也许有一种方法可以利用网格结构，就像计算Tutte多项式一样，但我对如何做到这一点没有任何想法。

Answer 2

不是解决方案，但也许你可以进一步思考这个想法。问题是你还需要计算获得所有路径的最长路径。对于一般图形，longest path problem是NP完全的，因此即使对于相对较小的图形（8x8和更大），它也会花费很长时间。

想象一下，起始顶点位于顶部，左上角，末端顶点位于矩阵的右下角。

对于1x2矩阵，只有一条可能的路径
2x2矩阵=＆gt; 2 *** 1 **路径=＆gt; 2
3x2矩阵=＆gt; 2 *** 2 **路径=＆gt; 4
3x3矩阵=＆gt; 2 *** 4 ** + 2 * 2路径=＆gt; 12
3x4矩阵=＆gt; 2 *** 12 ** + 12 + 2路径=＆gt; 38

每次我将前一次计算的结果与当前路径数相结合。对于这样的平面图可能有一个非常接近的公式，也许甚至有很多理论，但我太愚蠢......

您可以使用以下Java（抱歉，我不是c ++专家： - /）片段来计算更大矩阵的可能路径：

public static void main(String[] args) {
    new Main(3, 2).start();
}
int xSize;
int ySize;
boolean visited[][];

public Main(int maxX, int maxY) {
    xSize = maxX;
    ySize = maxY;
    visited = new boolean[xSize][ySize];
}

public void start() {
    // path starts in the top left corner
    int paths = nextCell(0, 0);
    System.out.println(paths);
}

public int nextCell(int x, int y) {
    // path should end in the lower right corner
    if (x == xSize - 1 && y == ySize - 1)
        return 1;

    if (x < 0 || y < 0 || x >= xSize || y >= ySize || visited[x][y]) {
        return 0;
    }

    visited[x][y] = true;
    int c = 0;
    c += nextCell(x + 1, y);
    c += nextCell(x - 1, y);
    c += nextCell(x, y + 1);
    c += nextCell(x, y - 1);
    visited[x][y] = false;
    return c;
}

=＆GT;

4x4 =＆gt; 184
5x5 =＆gt; 8512
6x6 =＆gt; 1262816
7x7（即使这个简单的案例需要花费很多时间！）=＆gt; 575780564

这意味着您可以（仅在理论上）计算从MxM矩阵的任何位置到右下角的所有可能路径，然后使用此矩阵快速查找路径数。 Dynamic programming（使用之前的计算结果）可能会加快一些速度。

Answer 3

项目Euler上存在类似但不太普遍的问题：http://projecteuler.net/index.php?section=problems&id=237

我认为论坛中描述的一些解决方案可以扩展到解决您的一般情况。这是一个相当困难的问题，特别是对于你的一般情况。

要访问他们的论坛，首先需要解决问题。我不会在这里发布答案，也不会链接到列出答案的某个网站，这个网站可以通过搜索非常明显的内容在Google上轻松找到。

Answer 4

这是数学中的一个开放性问题，直接应用于化学和物理学，用于模拟聚合物键。最早的一些工作是在曼哈顿计划（核弹二战）期间完成的。

更为人所知的是自我避免行走问题。

我在我的大学数学系度过了一个夏天，研究了一种称为枢轴算法的蒙特卡罗算法，以近似给定长度n的自躲避步行数量的渐近拟合的参数。

请参阅Gordon Slade的优秀书籍“The Self Avoiding Walk”，以便广泛报道迄今为止用于解决此问题的各种技术。

这是一个非常复杂的问题，我想知道你的动机是什么。也许你可以找到一个更简单的模型，因为Self Avoiding Walks并不简单。

Answer 5

显示边缘的矩阵是否有效？考虑构建一个显示边缘位置的矩阵，即。 [a，b] = 1＆lt; =＆gt; a-> b是图中的边，否则为0。现在，将此矩阵提升为各种幂，以显示使用n个步骤在顶点之间存在多少种方法，然后将它们相加以得到结果。这只是解决问题的一种方法，可能还有其他方法来解决问题。

我想知道这是否属于MathOverflow，作为另一个想法

是的，一旦你有一个零矩阵你就可以在你的情况下停止取幂，3之后没有很多地方可去，但从1到3的路径将是直接的和经过的路径2，所以在找到全零之前，只有几个矩阵可以加在一起。

我认为应该有一种方法来计算n ^（n + 1）的界限，其中n是图中顶点的数量，它表示一个停止点，就像那个点，每个顶点将被访问过一次。我不确定如何从循环路径中解决问题，或者可以假设图形没有循环？

从A [a，b]到A [c，d]的不同非循环路径的数量？

5 个答案: