Question

我在一些在线论坛上看到了以下面试问题。对此有什么好的解决方案？

获取5 ^ 1234566789893943
的最后1000位数字

Answer 1

简单算法：

1. Maintain a 1000-digits array which will have the answer at the end
2. Implement a multiplication routine like you do in school. It is O(d^2).
3. Use modular exponentiation by squaring.

迭代取幂：

array ans;
int a = 5;

while (p > 0) {

    if (p&1) {

       ans = multiply(ans, a)
    }

    p = p>>1;

    ans = multiply(ans, ans);
}

multiply: multiplies two large number using the school method and return last 1000 digits.

时间复杂度： O（d ^ 2 * logp）其中d是所需的最后一位数，p是幂。

Answer 2

此问题的典型解决方案是使用模运算和取幂，通过平方来计算5^1234566789893943除以10^1000时的余数。但是在你的情况下，这仍然不够好，因为它需要大约1000 * log（1234566789893943）操作并且这不是太多，但我将提出一种更通用的方法，它可以用于更大的指数值。

你将不得不使用更复杂的数论。您可以使用Euler's theorem更有效地获得5^1234566789893943 modulo 2^1000的剩余部分。表示r。显而易见的是，5^1234566789893943可被5^1000整除。

之后你需要找到一个数字d，5^1000*d = r(modulo 2^1000)。要解决此等式，您应该计算5^1000(modulo 2^1000)。之后剩下的就是做除以模2 ^ 1000的除法。再次使用欧拉定理，这可以有效地完成。使用x^(phi(2^1000)-1)*x =1(modulo 2^1000)。这种方法更快，是唯一可行的解决方案。

Answer 3

我们需要知道的技术是通过平方和模数进行取幂。我们还需要在Java中使用BigInteger。

Java中的简单代码：

BigInteger m = //BigInteger of 10^1000

BigInteger pow(BigInteger a, long b) {
   if (b == 0) {
      return BigInteger.ONE;
   }
   BigInteger val = pow(a, b/2);
   if (b % 2 == 0)
       return (val.multiply(val)).mod(m);
   else
       return (val.multiply(val).multiply(a)).mod(m);
}

在Java中，函数modPow为您完成了所有工作（感谢Java）。

Answer 4

关键短语是“模幂运算”。 Python内置了这个：

Python 3.4.1 (v3.4.1:c0e311e010fc, May 18 2014, 10:38:22) [MSC v.1600 32 bit (Intel)] on win32
Type "copyright", "credits" or "license()" for more information.
>>> help(pow)
Help on built-in function pow in module builtins:

pow(...)
    pow(x, y[, z]) -> number

    With two arguments, equivalent to x**y.  With three arguments,
    equivalent to (x**y) % z, but may be more efficient (e.g. for ints).

>>> digits = pow(5, 1234566789893943, 10**1000)
>>> len(str(digits))
1000
>>> digits
4750414775792952522204114184342722049638880929773624902773914715850189808476532716372371599198399541490535712666678457047950561228398126854813955228082149950029586996237166535637925022587538404245894713557782868186911348163750456080173694616157985752707395420982029720018418176528050046735160132510039430638924070731480858515227638960577060664844432475135181968277088315958312427313480771984874517274455070808286089278055166204573155093723933924226458522505574738359787477768274598805619392248788499020057331479403377350096157635924457653815121544961705226996087472416473967901157340721436252325091988301798899201640961322478421979046764449146045325215261829432737214561242087559734390139448919027470137649372264607375942527202021229200886927993079738795532281264345533044058574930108964976191133834748071751521214092905298139886778347051165211279789776682686753139533912795298973229094197221087871530034608077419911440782714084922725088980350599242632517985214513078773279630695469677448272705078125
>>>

Answer 5

使用同余并应用模运算。平方和乘法算法。如果将基数10中的任何数除以10，则余数代表最后一位数。即23422222 = 2342222 * 10 + 2

所以我们知道： 5 = 5（模10） 5 ^ 2 = 25 = 5（mod 10）
5 ^ 4 =（5 ^ 2）*（5 ^ 2）= 5 * 5 = 5（mod 10） 5 ^ 8 =（5 ^ 4）*（5 ^ 4）= 5 * 5 = 5（mod 10）

....继续前进，直到你到达那个指数

或者，你可以意识到，随着我们的继续前进，你将继续获得5分。

Answer 6

将数字转换为字符串。

循环播放字符串，从最后一个索引开始，最多1000个。

然后反转结果字符串。

Answer 7

我根据这里的一些提示发布了一个解决方案。

#include <vector>
#include <iostream>

using namespace std;

vector<char> multiplyArrays(const vector<char> &data1, const vector<char> &data2, int k) {
    int sz1 = data1.size();
    int sz2 = data2.size();
    vector<char> result(sz1+sz2,0);

    for(int i=sz1-1; i>=0; --i) {
        char carry = 0;

        for(int j=sz2-1; j>=0; --j) {
            char value = data1[i] * data2[j]+result[i+j+1]+carry;  

            carry = value/10;            
            result[i+j+1] = value % 10;
        }

        result[i]=carry;
    }
    if(sz1+sz2>k){
        vector<char> lastKElements(result.begin()+(sz1+sz2-k), result.end());
        return lastKElements;
    }
    else
        return result;
}



vector<char> calculate(unsigned long m, unsigned long n, int k) {
    if(n == 0) {
        return vector<char>(1, 1);
    } else if(n % 2) { // odd number
        vector<char> tmp(1, m);
        vector<char> result1 = calculate(m, n-1, k);
        return multiplyArrays(result1, tmp, k);
    } else {
        vector<char> result1 = calculate(m, n/2, k);
        return multiplyArrays(result1, result1, k);
    }
}

int main(int argc, char const *argv[]){


    vector<char> v=calculate(5,8,1000);
    for(auto c : v){
        cout<<static_cast<unsigned>(c);
    }

}

Answer 8

我不知道Windows是否可以显示一个大数字（或者我的计算机是否足够快以显示它）但我猜你 COULD 使用这个代码和算法：

        ulong x = 5; //There are a lot of libraries for other languages like C/C++ that support super big numbers. In this case I'm using C#'s default Uint64 number.
        for(ulong i=1; i<1234566789893943; i++)
        {
            x = x * x; //I will make the multiplication raise power over here
        }
        string term = x.ToString(); //Store the number to  a string. I remember strings can store up to 1 billion characters.

        char[] number = term.ToCharArray(); //Array of all the digits
        int tmp=0;
        while(number[tmp]!='.') //This will search for the period.
        tmp++;

        tmp++; //After finding the period, I will start storing 1000 digits from this index of the char array

        string thousandDigits = ""; //Here I will store the digits.

        for (int i = tmp; i <= 1000+tmp; i++)
        {
            thousandDigits += number[i]; //Storing digits
        }

使用它作为参考，我想如果你想尝试获取这个数组的 LAST 1000个字符，请在上面代码的for中更改为：

        string thousandDigits = "";

        for (int i = 0; i > 1000; i++)
        {
            thousandDigits += number[number.Length-i]; //Reverse array... ¿?
        }

由于我不能使用超级超级数字，我不知道我的计算机是否可以获得这些数字，我尝试了代码并且它可以工作但是当我尝试在控制台中显示结果时它只是让指针闪烁xD猜猜它还在工作。没有专业的处理器。如果你想要试试：P

获取5 ^ 1234566789893943的最后1000位数字

8 个答案: