如何计算一系列数字[A，B]的设定位的倒数之和 （这里A，B> 0＆amp; A，B＆lt; 10 ^ 9）？
我的方法：
通过使用从A到B的简单for循环，我使用_builtin_popcount（一个用于计算C / C ++中数字的setbits的内置函数）计算了一个数字的setbits，然后取其倒数并添加。这是一种O（n）方法。但是由于更大的约束，它需要更长的时间。如何进一步优化？是否可以使用O（log（n））算法？
答案 0 :(得分：2)
让F(N, k) = |{m | m is an integer lying in [0, N] and m's binary representation has exactly k bits set}|。您想要的答案是SUM{ (F(B,k) - F(A-1,k))/k | 1<=k<=MSB(B)}，其中MSB =最重要的位。
您可以递归计算F(N,k)。正确处理递归的边界。实际的递归是
F(N, k) = F(N^(1<<MSB(N)), k-1) + F((1<<MSB(N))-1, k)
简而言之，您认为那些与MSB具有相同N的数字和MSB与N相同的数字并递归。
运行时为O(log(B)*log(B))。
编辑：说明递归：
N = 1101，二进制，k=2。
<= N与MSB相同的数字N为{1000, 1001, 1010, 1011, 1100, 1101}。请注意，它们实际上与此集1000 + {000, 001, 010, 011, 100, 101}相同。换句话说，它们都是数字<= N^(1<<MSB(N)) = 1101 ^ 1000 = 101。由于您已经计算了MSB位，因此集合{000, 001, 010, 011, 100, 101}中所需的位数为k-1。这解释了F(N^(1<<MSB(N)), k-1)一词。
<=N的{{1}}小于MSB的数字N为{000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111}。换句话说，所有数字<= (1<<MSB(N)) - 1 = 1000 - 1 = 111。到目前为止，您还没有计算任何设置位。因此，您仍需要集合k中的数字{000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111}位。这就是F((1<<MSB(N))-1, k)术语的来源。