牛顿拉夫森方法的失效分析表明“对于某些函数,某些起点可能会进入无限循环,阻止收敛”。我想在程序中检查它是否进入无限循环或不使用assert语句。如果它进入,那么程序将终止说使用这个初始猜测无法收敛。如何在程序中检测此循环? 代码:
int user_power, i=0, cnt=0, flag=0;
int coef[10]={0};
float x1=0, x2=0, t=0;
float fx1=0, fdx1=0;
void main()
{
printf("\n\n\t\t\t PROGRAM FOR NEWTON RAPHSON GENERAL");
printf("\n\n\n\tENTER THE MAXIMUM POWER:");
scanf("%d",&user_power);
for(i=0;i<=user_power;i++)
{
printf("\n\t x^%d:",i);
scanf("%d",&coef[i]);
}
printf("\n");
printf("\n\tINTIAL X1---->");
scanf("%f",&x1);
printf("\n ******************************************************");
printf("\n ITERATION X1 FX1 F'X1 ");
printf("\n **********************************************************");
do
{
cnt++;
fx1=fdx1=0;
for(i=user_power;i>=1;i--)
{
fx1+=coef[i] * (pow(x1,i)) ; //calculating f(x1)
}
fx1+=coef[0];
for(i=user_power;i>=0;i--)
{
fdx1+=coef[i]* (i*pow(x1,(i-1))); //calculating f'(x1)
}
t=x2;
assert(fdx1!=0);
x2=(x1-(fx1/fdx1));
x1=x2;
printf("\n %d %.3f %.3f %.3f ",cnt,x2,fx1,fdx1);
} while((fabs(t - x1))>=0.0001);
printf("\n\t THE ROOT OF EQUATION IS %f",x2);
printf("\n");
}
答案 0 :(得分:5)
您不会检查定期轨道。确定周期然后收敛到轨道太昂贵了。
如果大致满足二次收敛的条件,你可以做的是在5次牛顿迭代后检查。为此,如果函数值的减少量大于4的除数(或者在牛顿步长的步长中,它应该大于2的除数),则检查3个步骤。
如果失败,请重新启动初始点的一些(随机)修改。
对于大多数问题,牛顿方法在双精度中的应用在超过双浮点格式的精度之前具有2-3步全局方向,然后是4-6步的二次收敛。因此,一个人可以更大胆,如果在10步之后迭代不收敛,则初始点是坏的,不管它是导致周期性轨道还是向无穷大发散。最有可能的是,附近的初始点的行为类似,因此在下一次迭代运行开始时对初始点进行非平凡的更改。
补充说明:
研究Horner方案和双Horner方案,用于评估多项式(及其衍生物)。使用电源功能是不明智的。
对可能没有多项式真正根源的情况考虑一下。
关于通过牛顿方法求多项式的所有根的一般思路,参见J. H. Hubbard,D。Schleicher,S。Sutherland:How to Find All Roots of Complex Polynomials by Newton's Method,Inventiones Mathematicae vol。 146(2001) - 讨论了牛顿分形的全局结构