给定一组变量，生成可解的XOR方程系统

Question

我想知道如何生成一个由m方程组成的可解的XOR方程组， 给定一组m变量b0，b1，...，bm。

每个等式是3个不同变量之间的XOR。

例如，给定m == 5：

b0 XOR b1 XOR b2

b0 XOR b1 XOR b3

b0 XOR b1 XOR b4

b0 XOR b2 XOR b3

b1 XOR b2 XOR b3

上面的例子可以解决，因为矩阵：

1 1 1 0 0 

1 1 0 1 0 

1 1 0 0 1

1 0 1 1 0 

0 1 1 1 0 

拥有＆＃34;满级＆＃34;只有XOR。作为第二个例子：

b0 XOR b1 XOR b2

b0 XOR b1 XOR b3

b0 XOR b1 XOR b4

b0 XOR b2 XOR b3

b0 XOR b2 XOR b4

不行。

Answer 1

由于您只需要任何此类矩阵，因此可满足以下完整等级（m x m）矩阵：

1 1 1 0 0 0..............
0 1 1 1 0 0..............
0 0 1 1 1 0..............
.........................
..............0 0 0 1 1 1
..............0 0 1 1 0 1
..............0 0 1 0 1 1

这对应于：

b0 xor b1 xor b2
b1 xor b2 xor b3
b2 xor b3 xor b4
...
b(m-3) xor b(m-2) xor b(m-1)
b(m-4) xor b(m-4) xor b(m-1)
b(m-4) xor b(m-2) xor b(m-1)