选择NP-hard使用相同内容的人的子集的算法？

Question

这不是家庭作业，而是我在研究过程中遇到的一个问题。我需要知道这个问题是否是NP难的。在第一种情况下，我需要一个近似算法，在后一种情况下，我需要一个有效的算法，为我提供最佳解决方案。

非正式说明：

想象一下使用某些工具的人。每个人只使用几种工具，但不是全部。有人写下谁使用了哪个工具。问题：如何找到最大的人群，每个人至少使用过其他人使用过的k工具？ [先前的问题描述：与其他人相同的工具？]工具的数量仅限于t＆＃39;

我对此问题进行了正式描述，这可能有所帮助：

设G =（P，T，E）为二分图，其中P代表人的集合，T代表工具集。如果人使用该工具，则在P中的节点p和T中的t之间存在边缘。目标是找到P＆＃39;，T＆＃39;适用于以下条件：1）从任何p＆＃39;在P＆＃39;，任何t＆＃39;在T＆＃39;可以通过单个边缘到达。 2）| P＆＃39; |，即P＆＃39;中的节点数量是最大值。

效率低下的方法是采用每个子集P＆＃39;并计算每个t＆＃39;的交集。与p＆＃39;相关联在P＆＃39;。不幸的是，这些子集的数量呈指数级增长，计算很快变得棘手。

非常感谢！

Answer 1

要找到最大的人群，每个人使用与其他人相同的工具，您只需要按照他们使用的工具对人员进行分组。

换句话说：

• 创建地图：从（工具集）到（使用这套工具的人数）
• 找到计数最多的工具集。

这绝对是多项式。

例如：

假设工具套件是 {爪锤，卷尺，多功能刀，湿度计，凿子，水平仪，螺丝刀，指甲套，滑动斜面，布局方形} （source）

我们将创建一个从位集（表示为字符串的整数）到整数（使用这组工具的人数）的映射。

现在，如果Dan的工具是{Claw Hammer，Utility Knife，Sliding Bevel}，我们将添加以下地图：

键：1010000010，值：1。

为了添加其他人，我们将首先计算密钥。如果Dave使用与Dan相同的工具，我们将获得相同的密钥，因此我们只会增加计数：

键：1010000010，值：2。

-

• 从一个人的工具列表构造一个位集是 O（T）
• 搜索地图中是否已存在此类密钥 O（log（P）∙T）（ O（T）是比较两个字符串的最坏情况长度为T.由于密钥已经排序，因此可能要好得多。另外O（log（P）忽略了迭代结构）。
• 增加计数是 O（1），或者 - 向地图添加新密钥是 O（log（P））（实际上它更好，因为地图迭代建造。）

总结一下 - 您可以在 O（P∙log²（P）∙T）中为所有人构建集合。同样，你可以做得更好，但这只是为了证明它是多项式的。

查找具有最高计数的键是O（P） - 在地图上行走，其中包含较少的P键。

Answer 2

绝对不是NP - 硬。我会建议一种贪婪的方法。找到最大号的工具。使用它的人假设最大的这样的组使用2个工具A和B，该数字永远不会大于max（使用A或B的人数）。