如何在整数可满足实例的解决方案中确定固定和非固定变量？

Question

我有一个（可满足的）（线性）整数可满足性问题。该问题包含一堆布尔值变量，称为x ₁ ... x _n ，其中一个约束是sum（x < sub> 1 ... x _n ）= C.我希望确定哪些变量是固定的，以及所述变量的固定值（如：这些变量中的哪一个在所有可能的解决方案中，一个特定的值（0或1，因为它们再次是布尔值）。

我有一个有效的解决方案，它只是缓慢（温和地说）：

1. 添加x ₁ == 0
的约束
2. 检查问题是否可解决
3. 删除步骤1中添加的约束。
4. 添加x ₁ == 1
的约束
5. 检查问题是否可解决
6. 删除在步骤4中添加的约束
7. 断言2和5中至少有一个成功。
8. 如果两者都成功，则变量不固定。否则，变量将固定为问题仍可满足的约束条件。
9. 对于x ₂ 重复1 ... 8 ... x _n

问题在于它的速度很慢。特别是，它需要解决问题O（n），或者更确切地说是2 * n次。 （我在前面的解决方案中传递了一个热启动求解器，但只是启动解算器几乎所有的时间。）

有更快的方法吗？特别是需要更少次调用解算器的那个？

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我正在考虑的事情，遗憾的是它不能按原样工作，就是把它变成一个ILP问题并解决它两次，一次是为了最大化和（x ₁ ... x _n ），其中一个目标是最小化它，并检查哪些变量发生变化。不幸的是，这一般都不起作用。对于（计数器）示例：布尔变量x和y，其中x+y=1。即使两个变量都没有修复，最大化和最小化也可以产生相同的效果。

Answer 1

您在问题中描述的对于变量的操作通常称为MILP（混合整数线性编程）社区中的探测，不幸的是，理论上没有什么比您能做的更好。但是，在实践中，你可以加快速度。

正如您在自己的回答中所指出的，对于每个变量，您可以跟踪您是否在某些解决方案中将该变量视为False和True，并仅测试您之前未见过的设置。 （请注意，修复x_1时获得的第一个解决方案将为每个变量设置一个seenFalse或seenTrue，将要解决的实例数减少一半。）

你可以做得更多。当您查看特定实例时（例如，当未设置seenFalse_i并将x_i设置为False时），您可以使用随机目标将ILSAT转换为ILP。有一个目标有几个目的

• 通过在每个实例中使用不同的随机目标，您必须解决，希望您将获得各种各样的解决方案，并且您将能够设置许多看到的...标志。
• 使用此ILP的最佳解决方案值和ILP的LP松弛，您可以执行降低成本的修复，即，基于基于布尔变量的基础上降低的成本，您可能能够证明他们不能采取任何其他价值，而不是他们目前的价值，因此可能设置更多看到的......旗帜。

Answer 2

看起来好像我有自己问题的解决方案。这不是理想的，因此我会接受其他答案，但这里有：

1. 将ILSAT变为ILP。
2. 对于要检查的每个变量，请将该变量的seenTrue和seenFalse设置为False
3. 设置目标函数以最大化已被视为False但不是True的变量之和，减去已被视为True但未变为的变量之和False。
4. 解决ILP。
5. 如果自上次迭代以来未知未知的值都没有改变，则中断为8.
6. 对于解决方案中的每个变量，请将seenTrue或seenFalse设置为True，具体取决于变量是True还是False。
7. 转到2
8. 对于每个变量，如果它只被视为True或False之一，则变量固定为该值。否则（它被认为是两者）它没有修复。

有效地我正在做的是总是试图最大化设置为尚未设置的值的变量数。