Question

情况：

给出一些带坐标的点（x，y）范围0＆lt; x＆lt; 100,000,000和0 < y <100,000,000

我必须找到最小的正方形，其边缘和内部至少包含N个点。

我使用矢量存储坐标并搜索所有正方形，边长minLength到边长maxLength（在相关空间中施加蛮力）

struct Point
{
        int x;
        int y;
};

vector<Point> P;
int minLength = sqrt(N) - 1;
int maxLength = 0;

//   bigx= largest x coordinate of any point
//   bigy= largest y coordinate of any point
//   smallx= smallest x coordinate of any point
//   smally= smallest y coordinate of any point

(bigx - smallx) < (bigy - smally) ? maxLength = (bigx - smallx) : maxLength = (bigy - smally);

对于我抬起的每个方格，遍历完整的向量，看看它的边缘和内部是否至少有N个点。

这是非常低效的时间。

Q1。在不改变我使用的算法的情况下，我应该使用什么数据结构来提高时间效率？ Q2。这个问题的有效算法？

Answer 1

在2个相对边上有点 - 如果没有，你可以将平方缩小1并仍然包含相同数量的点。这意味着边缘的可能坐标限于输入点的坐标。但是，输入点可能不在角落。（对于最小的矩形，所有4个边上都会有点，因为你可以收缩一个尺寸而不改变另一个尺寸）

接下来要认识到的是，每个点将平面划分为4个象限，每个象限包含许多点。（由于象限有一个像素重叠，这些可以加起来超过总点数）。可以说，NW（p）是点p西北的点数，即具有x>=px and y>=py的点数。然后，正方形中的点数为NW(bottomleft) + NW(topright) - NW(bottomright) - NW(topleft)。

为所有输入点计算NW(p)相当容易。按x按x对y进行排序。最西北的点有NW(p)==0。如果它位于第一个点的东南方，则下一个点可以有NW(p)==1，否则它有NW(p)==0。在这个阶段跟踪SW（p）也很有用，因为你正在从西向东穿过这些点，因此它们不会从北到南排序。计算出NW(p)后，您可以确定O(1)

中方形S中的点数

回想一下，方形尺寸受到在相对边缘上有点的需要的限制。假设点位于左侧（西侧）和右侧边缘 - 您仍然按x顺序排序点。首先假设左边缘位于最左边的x坐标，然后看看右边缘必须包含N个点。现在将左边缘移动到下一个x坐标并找到一个新的右边缘（从而找到一个新的正方形）。这样做直到正方形的右边缘是最右边的点。

也可能是正方形在y方向受到约束。只需在y方向上对点进行排序并重复，然后选择两个结果之间的最小平方。

由于你在x和y方向的点上线性运行，那部分只是O（N），主导因素是O（N log N）排序。

Answer 2

请查看http://en.wikipedia.org/wiki/Space_partitioning使用Divide-and-Conquer技术解决此问题的算法。这在多项式时间内绝对可以解决。

另外一种变体算法可以在以下几行。

在点上生成vornoi图以获取邻居信息。 [O（nlog（n））]
现在使用动态编程，DP将类似于在2D阵列中找到最大子阵列的问题。这里不是数字之和，而是在它之前保留点数。

2.a基本上类似于此的递归将成立。 [O（n）]

从（0,0）到（x，y）的平方元素数量=（元素数量从square（0,0到（（x-1），y））+（方形0,0 - （x，y-1）中的elems数） - （（0,0）中的元素数 - （（x-1），（y-1）））

对于其邻域以及左侧和上方的所有点，您的重现将不得不改变，而不仅仅是上面的上方和左侧的点。

DP准备就绪后，您可以在O（1）中查询sqare中的点数。另一个O（n ^ 2）循环从所有可能的组合中找到并找到最小二乘。
您甚至可以先从最小的方块开始贪婪地开始，这样您就可以在找到合适的方块后立即结束搜索。

Answer 3

rtree允许空间搜索，但没有stl实现，尽管sqlite允许绑定。这可以回答＆＃34;得到范围内的所有点＆＃34;，＆＃34; k最近邻居＆＃34;

查找具有最密集数据的区域是一个类似于聚类的问题。

迭代点并找到每个点的N个最近的条目。然后生成最小的圆 - 中心将是Max（x） - min（x），Max（y） - min（y）。可以形成包含所有邻居的正方形，并且与圆相比，可以在2r长度和2sqrt（r）长度之间。

O（x）构建结构的时间 O（X N log（X））搜索最小的簇

Answer 4

注意：第二个问题有很多答案（这可能会带来更大的好处），但我只是指你的第一个问题，即在不改变算法的情况下使用什么数据。

在那里，我认为你使用矢量的选择已经相当不错了，因为通常矢量提供最佳的有效载荷/开销比以及最快的迭代。为了找出具体的瓶颈，请使用分析器，否则您只是在猜测。对于大型向量，有一些事情要避免：

整体分配，这浪费了空间。
Underallocation，这会导致在向量增长到必要大小时进行复制。
复制。

用于稀疏数据查找的高效数据结构

4 个答案: