在高维空间中以最佳方式计算成本

Question

如何在最佳方式中在高维空间中找到等函数值的轮廓，前提是函数值在所有维度上都是单调递减的。

Answer 1

由于你的函数在X和Y都是单调的，因此可以直接找到轮廓。让我们找到f（x，y）-K = 0的解。

步骤1.计算四个角的功能。这将告诉您轮廓相交的边缘。

步骤2.使用解决方案选择其中一条边。使用细分算法在此边缘上找到解决方案。首先找到中点并计算其中的值。这将边缘分成两部分，一部分将改变符号，选择边缘并重复。这个过程将提供独特的解决方案。

步骤3.从终点开始使用零跟随技术。我们从一个正方形开始，在一个边上有一个解，在两个角上有已知值。评估其他两个角落的功能。比较符号并找到其他边缘的解决方案。到达相邻的广场并重复。

这将遵循曲线，直到我们到达边界上的另一个解决方案。单调意味着没有棘手的案件需要处理。

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更多关于第3步：我们有一个有两个知识点的矩形

+ ____ -
|      |
|      |
? ____ ?

有三种可能性

+ ____ -
|      |
|      |    take the right hand side
+ ____ +

+ ____ -
|      |    take the bottom side
|      |
+ ____ -

+ ____ -
|      |
|      |    take the left hand side
- ____ -

由于函数是单调的，因此不能发生一个选项

+ ____ -
|      |     impossible
|      |   
- ____ +

Answer 2

如果您在一个正方形的四个角处评估函数，这四个值将告诉您是否通过iso-K曲线越过了正方形。

现在将方块细分为四个子方块，并检查新角落的函数值（这需要5个函数评估）。由于单调性，您可以确保至少有一个方格可以丢弃。

如果你递归地继续这个过程，每个阶段的点数减少至少25％，32个阶段就足以从10000减少到1（0.75 ^ 32 = 0.000100 ......），总共要求不超过32 x 5 = 160个函数评估。