如何生成＆＃34;厚＆＃34;贝塞尔曲线？

Question

我正在寻找一种通过＆＃34;加厚＆＃34;以编程方式生成多边形的方法。贝塞尔曲线。像这样：

我最初的想法是在线中找到法线，并从中生成多边形：

但问题是法线可以在陡峭的曲线中相互交叉，如下所示：

是否有任何公式或算法可以从贝塞尔曲线生成多边形？我无法在互联网上找到任何信息，但也许我正在使用错误的词语进行搜索......

Answer 1

如果你想要一个恒定的厚度，这称为偏移曲线，你使用法线的想法是正确的。

这确实提出了两个困难：

1. 偏移曲线不能完全表示为贝塞尔曲线;您可以使用折线，或将Beziers改装为折线;

2. 当曲率半径小于偏移宽度时，确实会出现尖点。您必须检测折线的自交叉。

据我所知，没有简单的解决方案。

如需了解更多信息，请查看38. Curve offsetting。

Answer 2

我写了一篇关于生成偏移曲线的过程的博客： http://brunoimbrizi.com/unbox/2015/03/offset-curve/

这是一个互动的例子： http://codepen.io/brunoimbrizi/pen/VYEWgY

// code is too big to post here, please see the source on codepen

Answer 3

这是一个难题。有像Tiller-Hanson这样的合理近似值（参见我对这个问题的回答：How to get the outline of a stroke?）但提问者特别提出了“法线在陡峭的曲线中可以相互交叉”的困难;另一种看待它的方法是，使用法线创建的包络可以产生无限大量的循环，具体取决于法线的间隔距离。

没有自交叉的完美解决方案是圆圈和线的Minkowski sum的包络。我认为获得这样一个信封是不切实际的：你可能不得不接受交叉点。

另一个有趣但又令人生畏的事实是，正如理查德·金奇在MetaFog: Converting METAFONT Shapes to Contours中所说，“代数告诉我们 抚摸三次多项式曲线（椭圆 近似于Bézier曲线）沿着第3个 度多项式曲线（Bézier曲线） 描边路径）产生6度包络线。 我们必须准确地接近这些6度 带有3度（贝塞尔曲线）曲线的包络线“。

Answer 4

这里有关于这个主题的数学论文。

https://microbians.com/mathcode[![enter 此处的图片说明]1]1