我们在2台不同的计算机上有2个二进制字符串：X和Y.他们两个长度为n。计算机可以通过相互发送位来进行通信。
我们必须建立随机算法以检查是否存在索引i，使得Xi = Yi。我们只能在计算机之间发送O（log n）位。
如果没有这样的索引，算法将始终返回＆＃34; false＆＃34;。如果有这样的索引，算法将返回＆＃34; true＆＃34;概率为0.5（至少）。
有什么建议吗？
答案 0 :(得分：2)
如果这些位是独立的，那么发送任何log(n)都会给你“击中”相等位的机会。如果没有任何其他信息，您将无法改进此功能。
答案 1 :(得分：1)
详细说明Ivaylo的回答：
想象两个字符串是
A = 110110....0....00010
B = 001001....0....11101
两个都有一些大的长度n，而Ak = Bk代表单个k，位于中间的某个位置。
您基本上需要转换A或B的函数，使得f（A）和g（B）为O(log n)位数。例如。总和就是这样一个功能。
假设您对A的位进行求和，即f = sum。也请g = sum . xor。
因此，如果A为110110 0 00010 (12 bits)且B为001001 0 11101 (12 bits)，则f（A）= 5 / 101 (3 bits)和g(B) = 6 / 110 (3 bits)。你可以比较它们，因为它们是不同的所以你可以说“啊哈！那么数字必须分享一点！（必须有我，s.t。Ai = Bi）”你会是对的。然而，虽然这是足够的证据，但当答案应该是真的时，并非必然。换句话说：可能有我s.t. Ai = Bi，但f（A）= g（B）。
让我们更接近功能，看看为什么。 f（A）真的计算A中有多少个，g（B）计算B中有多少个零。假设如果它们相同则A XOR B = 0，就像说“任何数字那个当与另一个数字进行异或运算时，其他数字中的数字为零，结果为0。“这是错误的：100和110满足条件，但100 XOR 110是010。
现在你可以说：“好吧，我们只需要选择更好的f和g。”然而，sum之所以不起作用是根本的，你无法摆脱它：f和g是哈希函数，或者是数学语言 - surjective functions。域具有O（n）位或O（2 ^ n）个元素的大小，而codomain（目标集）具有O（log n）位或O（2 ^（log n））= O（n）的大小元素和O（2 ^ n）>为O（n）。
投射函数不能反转（这是你真正想要的）。无论何时反转f（A）或g（B），都会得到一对多的映射。如果f（A）是2并且A具有3位，则A可以是{110,101,011}。 f（A）的反转图像的大小平均为O（2 ^ n / n）。使用无更多信息，您猜测A的值的机会是O（n / 2 ^ n）＆lt;一般情况下为0.5。
你有没有进一步的信息，因为如果你这样做了，你可以把它加入f和g，但这会增加他们的密码域的大小。
我建议阅读information theory以进一步了解信息丢失，熵等。
答案 2 :(得分：1)
for stanm（我把它写成答案，因为评论很长）： 这是一个正确的解决方案。完整的算法是：
k = X中的1的数字。
将k发送至电脑2.
l = Y中的0的数量。
如果k = l，计算机2将回答“否”，否则为“是”（或0和1）。
如果没有索引i使得Xi = Yi，那么算法总是回答“否”（或0）。 如果存在这样的索引。计算机2错误答案的概率是计算机2得到l = k的概率。 包含k 0的所有二进制字符串（长度n）的数量是（n选择k）。 所有二进制字符串的数量（长度n）是（2 ^ n）。 因此，即使必须返回“是”，计算机2将失败的概率是（n选择k）/ 2 ^ n。您可以证明此数字始终小于（或等于）1/2。
最后我们可以得出结论：
如果这样的索引不存在，计算机2将回答“否”。如果它存在，那么计算机2将失败的概率小于（或等于）1/2，因此它将在概率上回答“是”超过1/2。