创建滤波器的拉普拉斯矩阵并求解图像滤波的线性方程

Question

我有一个要解决的优化问题，以便过滤图像 我创建了一个处理稀疏矩阵的问题的线性方程。

首先我会说明问题 首先，问题的拉普拉斯（Adjracncy）矩阵：

矩阵Dx / Dy是前向差分算子 - ＆gt;因此，它的转置是向后差分算子 矩阵Ax / Ay是对角矩阵，其权重是图像梯度的函数（点的方式，即值仅取决于该像素自身的梯度）。
权重是：

其中Ix（i）是第i个像素处输入图像的水平渐变（当您对输入图像进行矢量化时）。

假设输入图像G - > g = vec（G）= G（:)。
我想找到并形象U - ＆gt; u = vec（U）= U（:) s.t。：

我的问题是：

1. 如何有效地构建矩阵Dx / Dy / Ax / Ay（它们都是稀疏的）？
2. 通过设置M =（I + \ lambda * {L} _ {g}），是否有直接创建M的优化方法？
3. 在MATLAB中解决这个线性问题的最佳方法是什么？有没有办法通过内存限制（即，处理大图像，仍然能够解决它）？
4. 是否有一个开源库可以在有限的内存资源下解决它？任何带有MATLAB API的库？

谢谢。

Answer 1

鉴于您的意见，让我们在概要中回答每个问题并从那里开始：

1. 我将使用sparse和其他相关功能
回答下面的问题
2. 使用（1），我们绝对可以以优化的方式构建M。
3. 简单地说，在解决逆操作时，\ operator是最好的选择。 MathWorks花了很多时间来尝试优化它，它几乎使用了LAPACK和BLAS，你不会使用它。在（4）中回答了你无法使用它的唯一时间。
4. 有一些MATLAB脚本可以处理矩阵迭代，就像连续过度放松技术一样，但是你应该只在内存不足的情况下使用它们（例如，如果没有#n给你一个答案）。由于矩阵的稀疏表示，这不应该（希望）发生，所以现在让我们避免使用这些函数。

回到你的问题，我们可以很好地产生L_g的稀疏表示。根据{{​​1}}和Dx的定义，我们可以使用名为Dy的{​​{1}}命令的稀疏版本。因此，eye和speye可以通过Dx来计算。例如，如果您尝试在7 x 5图像上执行此操作，则会生成此内容。

Dy

如您所见，我们仅引用非零条目。第1行，第1列的系数为-1，第1行，第2列的系数为1，依此类推。对于您的Dx = diff(speye(size(inputImage)));和>> diff(speye(7,5)) ans = (1,1) -1 (1,2) 1 (2,2) -1 (2,3) 1 (3,3) -1 (3,4) 1 (4,4) -1 (4,5) 1 (5,5) -1 ，这也非常容易。我们有一个对角矩阵，我们可以手动设置每个条目。我们要做的就是指定一组行索引，列索引以及每个点的值。因此，我们可以通过以下方式实现：

Ax

第一次调用的原因是因为我们要确保像素具有双精度，因为在MATLAB中查找反转需要您执行此操作。它还确保我们不会溢出类型，因为我们正在调整0到1之间的强度。您可能需要调整标准偏差来反映这一点。现在我们只需要构建我们的Ay和inputImage = im2double(inputImage); %//Important rows = 1 : numel(inputImage); %// Assuming a 2D matrix cols = rows; % // Row and column indices are the same valuesDx = exp(-(gradX(rows).^2 / 2*sigma*sigma )); valuesDy = exp(-(gradY(rows).^2 / 2*sigma*sigma )); 矩阵，并让我们将其与Ax和Ay放在一起：

Dx

我将Dy转置为numberElements = numel(inputImage); Ax = sparse(rows, cols, valuesDx, numberElements, numberElements); Ay = sparse(rows, cols, valuesDy, numberElements, numberElements); identity = speye(numberElements, numberElements); Dx = diff(identity); Dy = Dx.'; %// Transpose 的原因是因为垂直方向上的差值运算符应该只是转置（对我来说很有意义）。这些都应该是您想要的每个矩阵的稀疏表示。矩阵运算也可以在稀疏矩阵上执行，包括乘法和逆运算。就这样：

Dx

您现在可以通过以下方式解决Dy：

Lg = Dx.' * Ax * Dx + Dy.' * Ay * Dy;

这假定u以图像中的像素构成 column-major 格式。我对构建u = (identity + lambda*Lg) \ g; 和g的像素进行采样的方式自然就是这样。因此，请Ax，假设我们已经转换为double并在0和1之间归一化。

当您最终解决Ay时，您可以通过执行以下操作将其重塑为图像：

g = inputImage(:);

u也可能是稀疏的，因此如果您想要恢复原始图片，请使用u = reshape(u, size(inputImage, 1), size(inputImage, 2)); 进行投射：

u

希望这有帮助！