基本算术运算的广泛算法（如乘法，平方根，对数，标量和矩阵乘积）的Big-O复杂度是多少？
在Big-O复杂性方面，是否有更高效的外来算法，但在实际解决方案中并不十分普遍（例如，在流行的软件库中没有实现）？
答案 0 :(得分：18)
请参阅http://en.wikipedia.org/wiki/Computational_complexity_of_mathematical_operations
方矩阵的矩阵乘积：
还有一个O（N 2.38 ）Coppersmith–Winograd algorithm但我不认为它是由于巨大的隐藏常数而广泛传播。
Big-int multiplication ：
2008年还发布了一个n log n·2 O（log * n）算法，但这个算法太新了，无法普及。
通常，天真的方法对于正常大小的输入来说已经足够了。
答案 1 :(得分：5)
操作没有复杂性，算法也没有。例如，有各种平方根算法，它们将具有不同的复杂性。
答案 2 :(得分：5)
您会将大多数简单操作视为O（1），因为您的输入大小通常是固定的（即32位或64位）。
在正常情况下，无论输入的“大小”如何，您的平台将执行与乘法，平方根，对数等完全相同的操作（即int a = 0; int b = Int32.MaxValue都是32位整数）。
一旦你开始查看矩阵或表示任意精度数字，它就会变得有趣，但有人已经将维基百科摘要链接起来，所以我不会进入那个。
只是不要使用Schönhage–Strassen来增加“正常”的小数字。它会让我哭泣。仅仅因为算法是O（ n 2 ）并不意味着它很糟糕 - 特别是当 n 几乎总是2 5 < / sup>或2 6 。
答案 3 :(得分：1)
平方根和对数可能以各种方式实现，极大地影响了复杂性（根据所需的精度判断）。
如果使用查找表（以及某种插值）实现它们，则内存需求确实会爆炸，因为需要更高的精度，但复杂性是查找数组中的值并可能应用插值。
更普遍的是，它们似乎是通过系列定义来实现的。递归或迭代语句多次，直到达到所需的精度。在这里，由于需要更高的精度，轮数可能会变得非常高，而且计算本身也会受到精度提高的影响。
答案 4 :(得分：1)
在任意长度的整数上查看BigInteger。根据输入的大小，现在所有内容都有成本，即位数（通常为O(log K)位K位）。我将使用N作为下面的位数。
例如，加法和减法现在是O( N )。乘法是O( N^2 )（天真）或O( n (log n)^(2+epsilon) )与FFT。
其他算法包括“power”函数，它需要O( N )次乘法。 （现在除了每个乘法都有成本！）
BigDecimals还有其他复杂性，它是任意长度的十进制等值，除了一些更基本的操作之外，其中一些东西也更有趣（特别是如果你想弄清楚多少精度）想）。您可以看一下Java的实现。
答案 5 :(得分：0)
还有一种傅里叶型算法也可以进行整数乘法（Schonhage-Strassen）
我认为有一个版本的Strassen算法在整数乘法方面的效果略好于正常，但现在我想起来了，那个结果就像直截了当一样......
加法和减法非常相似，只是加法和减法。虽然分区和平方根可能很有意思......
另请注意：到目前为止，每个人都谈到了INTEGER算法。一旦你得到浮点数/双打，所有的赌注都会被取消。然后你进入numerical analysis的世界，这是它自己的整个领域......
答案 6 :(得分：0)
大量位的除法和平方根并不比乘法复杂得多。对于这两个操作，可以以牛顿迭代仅具有乘法的方式来布置普通的旧牛顿迭代。由于每一步中正确位数的数量加倍，我们可以将每一步计算的精度加倍。