如何在MATLAB中集成离散的2D曲面？

Question

我有一个函数z = f(x, y)，其中z是点(x, y)的值。如何在MATLAB中将z集成到x-y平面上？

通过上面的函数，我实际上意味着我有类似于哈希表的东西。也就是说，给定(x, y)对，我可以查找表格以找到相应的z值。

如果点均匀分布在x-y平面上，问题会相当简单，在这种情况下，我可以简单地总结所有z值，将其与底部区域相乘，最后除以我所拥有的点数。但是，分布不均匀，如下所示。 所以我实际上要求的是最小化错误的计算方法。

Answer 1

如果您有一个离散数据集，其中包含定义z的所有x和y值，则只需获取与这些（x，y）对相对应的Zdata矩阵。保存此矩阵，然后您可以使用interp2：

使其成为连续函数

function z_interp = fun(x,y)

    z_interp = interp2(Xdata,Ydata,Zdata,x,y);

end

然后您可以使用integral2查找积分：

q = integral2(@fun,xmin,xmax,ymin,ymax)

其中@fun是你的函数句柄，它接受两个输入。

Answer 2

目前接受的答案仅适用于网格数据。如果您的数据分散，您可以使用以下方法：

scatteredInterpolant + integral2：

f = scatteredInterpolant(x(:), y(:), z(:), 'linear');
int = integral2(@(x,y) f(x,y), xmin, xmax, ymin, ymax);

这定义了数据f的线性插值z(i) = f(x(i),y(i))，并将其用作integral2的参数。请注意，ymin和ymax可以是函数句柄，而不是双精度，具体取决于x。所以通常你会集成矩形，但这可以用于更复杂的集成区域。

如果您的集成区域相当复杂或有漏洞，则应考虑对数据进行三角测量。

使用triangulation进行DIY：

假设您的积分区域由三角测量trep给出，例如可以通过trep = delaunayTriangulation(x(:), y(:))获得。如果您的值z对应于z(i) = f(trep.Points(i,1), trep.Points(i,2))，则可以使用以下集成例程。它计算线性插值的精确积分。这是通过评估所有三角形的面积，然后使用这些区域作为每个三角形的中点（平均值）值的权重来完成的。

function int = integrateTriangulation(trep, z)
P = trep.Points; T = trep.ConnectivityList;
d21 = P(T(:,2),:)-P(T(:,1),:);
d31 = P(T(:,3),:)-P(T(:,1),:);
areas = abs(1/2*(d21(:,1).*d31(:,2)-d21(:,2).*d31(:,1)));
int = areas'*mean(z(T),2);