为什么反函数不暗示同构

Question

我们假设我有两个名为f :: a -> b的函数，它的反函数g :: b -> a为f . g ≡ id。

现在不是g . f ≡ id？ （因而暗示同构）

我试着写一个类似的例子并想出了这个：

myRead :: String -> Int
myRead = read

myShow :: Int -> String
myShow = show

在ghci：

λ> myRead . myShow $ 3
3
λ> myShow . myRead $ "33"
"33"

但似乎是inverse function doesn't imply isomorphism。所以有人能指出我在这里做错了吗？

Answer 1

这是一个非常简单的例子。如果设置A为{1,2}而B设置{1}，那么功能为：{/ p>

f :: A -> B
f = const 1

g :: B -> A
g 1 = 1

具有关系f . g = id，但不具有关系g . f = id。一个反例是

g (f 2) = 1

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事实证明，如果你有两个函数，例如f . g = id和g . f = id那么就说明了很多关于这些函数的域和codomain的函数。特别是，它建立了一个同构，这表明这两个域在某种意义上是等价的。

从类别理论的角度来看，这意味着它们通过类别的态射无法区分。范畴理论强调类别的态射是获取物体信息的唯一途径，因此这种不可分辨性非常重要。

当你只有单方面的反转时，你仍然在学习这两个领域......但并不是说它们是同构的。

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单面反转的一件事给你的是幂等的。幂等元是从域到自身的函数i（内同态），i . i = i。给定f . g = id的任何两个函数，g . f是幂等的，证明非常明显：

i . i = (g . f) . (g . f) = g . f . g . f = g . (f . g) . f = g . f = i

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要考虑的另一个好处是每个函数f :: A -> B都会生成＆＃34;反转图像＆＃34;函数inv f :: B -> (A -> Bool)。

inv :: Eq b => (a -> b) -> b -> a -> Bool
inv f b a = f a == b

在更多的数学术语中，逆图像函数是从密码域B到域A的子集的映射，使得A的每个这样的子集中的每个元素映射到B的相同元素。这些子集分区A（这是函数的定义）。

如果我们有另一个函数g :: B -> A，g b位于子集inv f b中（即所有inv f b (g b) == True都是b）那么我们就有

f . g == id

但这比A和B仅仅是同构的更弱，更具技术性。这只是意味着g将B的元素发送到A的子集，f将向后发送。

例如，它承认了一个有趣的概念"fibration"的空间。

Answer 2

如果g :: X -> Y是满射的，则不一定有反向函数f :: Y -> X。然而，投射函数g可以反转某些函数f。

假设 y 中的每个Y x 中都有一个唯一值X f g 1}}发现。为 x 中的每个X指定一个函数y是可行的，{strong> Y < / strong>这样g . f == id。此语句显示所有x都存在唯一y，但这并未告知所有y存在唯一x的内容（即无法保证唯一性）。 （我甚至不知道g是如何建立的 - 你需要选择公理。）

Answer 3

使用您自己的示例myRead . myShow ≡ id，但

(myShow . myRead) "0xFF" = "255"

所以myShow . myRead ≢ id，您也可以通过计数参数看到：

类型Int具有有限的多个值，而String具有无限多的值，因此虽然可以从Int转到String然后返回，但是从无限到对有限类型String输入Int必须丢弃信息，因此您无法始终返回原始字符串，因此无法在Int和String之间构造同构{1}}。