证明AVL树可以有子节点的节点数不是彼此的Θ

Question

令T为AVL树，其左子树为T _L 且右子树为T _R 。让我们让| T _L |和| T _R |是左右子树中的节点数。

我需要证明两者都不是| T _R | ≠Θ（| T _R |），反之亦然，但我不知道如何。我假设它与一棵树是一个完整的AVL树而另一棵树是一个最小的AVL树（一个Fibonacci树）的情况有关，但我不知道该怎么做。

Answer 1

在高度为h的AVL树中，节点数在F _{h + 2} -1和2 ^h -1之间。第一个数量是Θ（φ ^h ），第二个是Θ（2 ^h ），其中φ是黄金比率，大约是1.61。这意味着您可以构建AVL树，其中左子树中的节点数为Θ（φ ^h ），右子树为Θ（2 ^h ），这意味着左子树的节点渐近比右子树少。然后，您可以向左和向右反转以显示右子树不能是左子树的Θ。

希望这有帮助！