Question

给出一个大小为3n的数组

[x1, x2, x3... xn, y1, y2, y3... yn, z1, z2, z3... zn]

将其转换为[x1, y1, z1, x2, y2, z2, ... xn, yn, zn]

这里xn，yn，zn可以是任何整数。请参阅下面的示例输入和输出。

两个约束

做O（n）
O（1）记忆（就地）

示例输入和输出如下。

输入：
[5, 8, 11, 3, 2, 17, 21, 1, 9] 3n = 9.所以n = 3。

下面 x1=5 x2=8 x3=11 y1=3 y2=2 y3=17 z1=21 z2=1 z3=9

输出：
[5, 3, 21, 8, 2, 1, 11, 17, 9]

一个可能的O（n log n）soln： 只考虑x和y。现在我可以将所有y换成它的位置，这将使我x2，x4，x6换出位置。然后我将交换x2，x4，这将使x3，x7离开位置。下一次迭代将是x8，x16。这将带我到O（n log n）但不是O（n）。

Answer 1

这个答案是基于Peiyush Jain的工作（其参考书目非常不完整，但我不想花时间理顺就地换位问题的历史）。观察到3是25 = 5 ^ 2的原始根，因为

>>> len(set(pow(3,n,25)for n in range(25)))
20

和20是欧拉的25个算子。根据Jain的定理1，数论中的经典结果，3是所有5 ^ k的原始根。

当数组长度为3n时，位置k * n + j处元素的新位置为3 * j + k。通常，i的新位置（除了最后一个元素）是（i * n）％（3 * n - 1）。注意，n是3模3 * n - 1的乘法逆，所以3是原始根，当且仅当n是。

在这种情况下，耆那教的观察结果是，如果3 * n - 1是5的幂，则上面的置换有log_5（3 * n - 1）+ 1个不同的周期，由5引导^ k表示从0到log_5（3 * n - 1）的k。（这或多或少是原始根的定义。）对于每个循环，我们所要做的就是移动领导者，移动被领导者移位的元素，移动被领导者移位的元素移位的元素等，直到我们回到领导者那里。

对于其他数组大小，将数组分解为长度为3的O（log n）隐式子数组，以及可被3：6,126,3126,78126等整除的1加上5的幂。执行一系列旋转，减小几何尺寸，使子阵列连续，然后运行上述算法。

如果您实际执行此操作，请对其进行基准测试。我做了Jain算法的基本情况（3 ^ n - 1，成对而不是三元组）并且发现，在我的机器上， O（n log n）-time算法对于非银河输入大小。 YMMV当然。

Answer 2

由于大卫似乎没有兴趣写下来（显然他感兴趣，请参阅另一个答案:)，我将使用his reference来获得案例算法有3个分区。

首先请注意，如果我们能够有效地解决某些 m＆lt; n 使用算法 A ，我们可以重新排列数组，以便我们可以应用 A ，然后留下一个较小的子问题。假设原始数组是

x1 .. xm x{m+1}.. xn y1 .. ym y{m+1} .. yn z1 .. zm z{m+1} .. zn

我们想将其重新排列为

x1 .. xm y1 .. ym z1 .. zm x{m+1} .. xn y{m+1} .. yn z{m+1} .. zn

这基本上是模式AaBbCc到ABCabc的转换，其中A，B，C和a，b，c分别具有相同的长度。我们可以通过一系列逆转来实现这一目标。让X＆＃39;表示字符串X的反转：

   AaBbCc
-> Aa(BbCc)' = Aac'C'b'B'
-> Aac'(C'b')'B' = Aac'bCB'
-> A(ac'bCB')' = ABC'b'ca'
-> ABCb'ca'
-> ABC(b'ca')' = ABCac'b
-> ABCa(c'b)' = ABCab'c
-> ABCabc

这可能是一种较短的方式，但这只是一个恒定的操作次数，所以它只需要线性时间。可以在这里使用更复杂的算法来实现一些循环移位，但这只是一种优化。

现在我们可以递归地解决数组的两个分区，我们已经完成了。

问题仍然存在，什么是一个很好的m，可以让我们轻松解决左边的部分？

为了解决这个问题，我们需要意识到我们想要实现的是数组索引的特定permutation P.每个排列can be decomposed into a set of cycles a0 -> a1 -> ... -> a{k-1} -> a0，我们有P（ai）= a {（i + 1）％k}。很容易就地处理这样的循环，算法概述on Wikipedia。

现在的问题是，在完成一个循环的处理之后，找到一个尚未处理的循环元素。对此没有通用的解决方案，但是对于某些特定的排列，有很好的公式可以描述不同周期中的位置究竟是什么。

对于你的问题，你只需选择m =（5 ^（2k） - 1）/ 3，这样m＆lt; n和k是最大值。作为所有不同周期的一部分的元素序列是5 ^ 0,5 ^ 1，...，5 ^ {k-1}。您可以使用它们在O（m）的数组左侧（移位后）实现循环引导算法。

我们递归地解决剩余的右边部分并获得一个算法来及时解决问题

T(n) = O(m) + T(n - m)

由于m> = Omega（n），我们得到T（n）= O（n）。

在O（n）时间内在阵列中交错三个大小相等的分区

2 个答案: