Question

我想证明，我的想法是一个合理的定理：

theorem1 : (n : Nat) -> (m : Nat) -> (n + (m - n)) = m

通过归纳证明到了我需要证明这一点：

lemma1 : (n : Nat) -> (n - 0) = n

当我尝试使用交互式证明器证明它（引理，为简单起见）时会发生这种情况：

----------                 Goal:                  ----------
{hole0} : (n : Nat) -> minus n 0 = n

> intros
----------              Other goals:              ----------
{hole0}
----------              Assumptions:              ----------
 n : Nat
----------                 Goal:                  ----------
{hole1} : minus n 0 = n

> trivial
Can't unify
        n = n
with
        minus n 0 = n

Specifically:
        Can't unify
                n
        with
                minus n 0

我觉得我必须遗漏一些关于减号的定义，所以我在源头查了一下：

||| Subtract natural numbers. If the second number is larger than the first, return 0.
total minus : Nat -> Nat -> Nat
minus Z        right     = Z
minus left     Z         = left
minus (S left) (S right) = minus left right

我需要的定义就在那里！ minus left Z = left。我的理解是，伊德里斯应该在这里用minus m 0代替m，然后这反过来就是真的。我错过了什么？

Answer 1

不幸的是，你想在这里证明的定理实际上并不正确，因为Idris自然会将减法截断为0. theorem1的反例是n=3, m=0。让我们逐步完成评估：

首先，我们替换：

3 + (0 - 3) = 0

接下来，我们将语法设计为底层的Num实例，并放入被调用的实际函数：

plus (S (S (S Z))) (minus Z (S (S (S Z))))) = Z

Idris是一种严格的，按值调用的语言，因此我们首先评估函数的参数。因此，我们减少了表达式minus Z (S (S (S Z))))。查看the definition of minus，第一个模式适用，因为第一个参数是Z。所以我们有：

plus (S (S (S Z))) Z = Z

plus对其第一个参数是递归的，因此评估的下一步产生：

S (plus (S (S Z)) Z) = Z

我们继续这种方式，直到plus获得Z为第一个参数，此时它返回第二个参数Z，产生类型：

S (S (S Z)) = Z

我们无法建造居民。

很抱歉，如果上面看起来有点迂腐和低级别，但在使用依赖类型时考虑特定的减少步骤非常重要。那就是你得到的计算＆＃34;免费＆＃34;在类型内部，所以安排它以产生方便的结果是很好的。

pdxleif的上述解决方案适用于您的引理。第一个参数的案例拆分对于使minus中的模式匹配起作用是必要的。请记住，它在模式匹配中从上到下进行，第一个模式在第一个参数上有一个具体的构造函数，这意味着在知道该构造函数是否匹配之前，还原不能继续进行。

Answer 2

只是玩弄交互式编辑，进行案例分割和证明搜索，产生：

lemma1 : (n : Nat) -> (n - 0) = n
lemma1 Z = refl
lemma1 (S k) = refl

从减号的定义可以看出这一点，这就是为什么它只是简单的反映。当输入变量只是n时，它可能会徘徊，因为它可能有不同的行为，如果它是Z或其他什么？还是递归？

Answer 3

以防万一，Idris Prelude已经定义了很多算术引理，就像你的一样：

total minusZeroRight : (left : Nat) -> left - 0 = left
minusZeroRight Z        = refl
minusZeroRight (S left) = refl

Answer 4

为了完整性＆＃39;为了清楚起见（战术语言已被弃用，有利于阐述者的反思），我将补充说，用战术语言证明你的引理的方法是调用induction n。然后，您可以使用trivial来显示每个案例（在归纳案例中intros之后）。

----------                 Goal:                  ----------
{hole0} : (n : Nat) -> minus n 0 = n
-lemma1> intros
----------              Other goals:              ----------
{hole0}
----------              Assumptions:              ----------
 n : Nat
----------                 Goal:                  ----------
{hole1} : minus n 0 = n
-lemma1> induction n
----------              Other goals:              ----------
elim_S0,{hole1},{hole0}
----------              Assumptions:              ----------
 n : Nat
----------                 Goal:                  ----------
elim_Z0 : minus 0 0 = 0
-lemma1> trivial
----------              Other goals:              ----------
{hole1},{hole0}
----------              Assumptions:              ----------
 n : Nat
----------                 Goal:                  ----------
elim_S0 : (n__0 : Nat) ->
          (minus n__0 0 = n__0) -> minus (S n__0) 0 = S n__0
-lemma1> intros
----------              Other goals:              ----------
{hole8},elim_S0,{hole1},{hole0}
----------              Assumptions:              ----------
 n : Nat
 n__0 : Nat
 ihn__0 : minus n__0 0 = n__0
----------                 Goal:                  ----------
{hole9} : minus (S n__0) 0 = S n__0
-lemma1> trivial
lemma1: No more goals.
-lemma1> qed
Proof completed!
lemma1 = proof
  intros
  induction n
  trivial
  intros
  trivial

我无法用Idris证明（n - 0）= n

4 个答案: