如何解决素数函数的Big-O表示法？

Question

我想了解Big-O表示法。很抱歉，如果我问的东西太明显了，但我似乎无法解决这个问题。

我有以下C＃代码函数，我正在尝试计算Big-O表示法。

for (i = 2; i < 100; i++)
     {
        for (j = 2; j <= (i / j); j++)
           if ((i % j) == 0) break; // if factor found, not prime
        if (j > (i / j)) 
           Console.WriteLine("{0} is prime", i);
     }

现在我得到的是，我认为if子句被认为是常数O（1）并且在计算此算法时没有考虑到这一点？如果我正确理解了一个for循环

for(i = 0; i < 100; i++)

因为它是一个线性函数是O（n）和一个不依赖于周围循环变量的嵌套循环

for(i = 0; i < 100; i++)
    for(j = 0; j < 100; j++)

是O（n ^ 2）？但是我如何计算一个函数，例如第二个循环依赖于第一个循环并创建非线性函数的顶部函数？

我找到了一个名为

的linearithmic定义

  

线性算法可以扩展到巨大的问题。每当N加倍时，   比双打更多（但不多）的运行时间。

虽然这似乎是对这段代码片段如何运行的一个很好的描述，这意味着它是O（N Log [n]），如果是这样，我怎么能计算出来？

Answer 1

@Jon很接近，但他的分析有点不对，算法的真正复杂度为O(n*sqrt(n)) 。

这是基于以下事实：对于每个数字i，您应该在内循环中执行的预期“工作”数量为：

1/2 + 2/3 + 3/4 + ... + (sqrt(i)-1)/sqrt(i) = 
 = 1-1/2 + 1-1/3 + ... + 1-1/sqrt(i)
 = sqrt(i) - (1/2 + 1/3 + ... + 1/sqrt(i)
 = sqrt(i) - H_sqrt(i)

由于H_sqrt(i)（The harmonic number）位于O(log(sqrt(i)) = O(1/2*log(i)，我们可以得出结论，每个素数计算的复杂度为O(sqrt(i)-log(i)) = O(sqrt(i))。

由于每个i重复执行此操作，因此问题的总复杂性为O(sqrt(2) + sqrt(3) + ... + sqrt(n))。根据{{​​3}}，平方根的总和在O(n*sqrt(n))，比O(nlogn)“更差”。

需要注意的事项：

1. 第一笔金额最高为sqrt（i），因为这是j > (i / j)的点。
2. 每个(j-1)/j的第一笔总和为j，因为平均有j个元素中的一个进入休息时间（1/3的元素可以分为3,1 / 4 by 4，...）这使我们(j-1)/j不是 - 这是我们所期望的工作。
3. 对于任何常量O(log(sqrt(n)) = O(1/2*log(n)，等级O(log(n^k))=O(k*log(n))=O(log(n))来自k。 （在你的情况下，k = 1/2）

Answer 2

分析你的算法，我想出了以下内容：

• 当i位于[2, 3]区间时，内部循环不会迭代。
• 当i位于[4, 8]区间时，内部循环会迭代一次。
• 当i位于[9, 15]区间时，内部循环会重复两次。
• 当i位于[16, 24]区间时，内部循环会重复三次。
• 当i位于[25, 35]区间时，内部循环会重复四次。
• 当i位于[36, 48]区间时，内部循环会重复五次。
• 当i位于[49, 63]区间时，内部循环会重复六次。
• 当i位于[64, 80]区间时，内部循环会重复七次。
• 当i位于[81, 99]区间时，内部循环会重复八次。 我不得不去超过100的范围来验证上述情况。
• 当i位于[100, 120]区间时，内部循环会重复九次。

取决于i's值的间隔可以表示如下：

[i^2, i * (i + 2)]

因此，我们可以这样做：

经验验证：

使用有用的WolframAlpha链接：

http://www.wolframalpha.com/input/?i=sum[+floor%28+i^%281%2F2%29%29+-+1+]+with+i+from+2+to+99.

在形式上，我们可以说明以下内容：

Answer 3

我看了你的代码 - 而且没有n。代码不依赖于任何n。它将始终以完全相同的固定时间运行。你可以计算它需要多长时间，但它始终是相同的，恒定的，时间。如上所述，以“for（i = 2; i＆lt; 100; ++ i）”开头的代码在O（1）中运行。

所以将第一行改为

for (i = 2; i < n; ++i)

现在我们的代码实际上取决于n。内循环最多运行sqrt（i）次迭代，小于sqrt（n）。外循环运行大约n次迭代。因此执行时间最多为O（n sqrt（n））= O（n ^ 1.5）。

实际上，它会跑得更快。它通常不会达到sqrt（i），但只有在找到i的除数之前。一半数字可被2整除（一次迭代）。其余三分之一可被3整除（两次迭代）。其余五分之一可被5整除（四次迭代）。关于n / nn个数是具有sqrt（n）次迭代的素数。关于n / ln n个数是两个素数的乘积＆gt; n ^（1/3），最多迭代sqrt（n）次。其余的迭代次数少于n ^（1/3）。

因此代码实际上以O（n ^ 1.5 / ln n）运行。您可以通过使用一个最大为sqrt（n）的素数表来改进这一点，并且您将降低到O（n ^ 1.5 / ln ^ 2 n）。

但实际上，你可以打赌，Console.WriteLine（）比检查一个数字是素数要花费更长的时间。如果你坚持列出所有素数，你的算法将由O（n / ln n）时间控制，并且显示结果的非常大的常数因子直到n变得非常大。