鉴于x，y，如何找到x！可以被y整除吗？

Question

计算x！可能非常昂贵，可能经常导致溢出。有没有办法找出是否x！如果没有计算x，你可以被y整除吗？

• 对于y＆lt; x，它的微不足道;
• 但是，对于y＆gt; x，例如x = 5，y = 60;我正在努力寻找一种不用计算x的方法！

Answer 1

计算x!和y的{​​{3}}。您可以通过将每个数字从x!分解为2并将所有因素收集在一起来计算x，而无需计算y。如果x!的因子是{{1}}因子的子集，则它可以被整除。

Answer 2

如果x和y真的很大，那么迭代遍历所有数字1到x是不可行的，你可以改为对因子进行因子分解并计算每个素数因子y的最大幂是否也分开X！

我已经写过更详细的算法in another answer。

基本上检查是这样的：

// computes maximum q so that p^q divides n!
bool max_power_of_p_in_fac(int p, int n) { 
    int mu = 0;
    while (n/p > 0) {
        mu += n/p;
        n /= p;
    }
    return mu;
}
// checks whether y divides x!
bool y_divides_x_fac(int y, int x) {
    for each prime factor p^q of y:
        if (max_power_of_p_in_fac(p, x) < q)
            return false;
    return true;
}

这导致情况x <1的算法。 y的复杂度O（分解y + log x * y的素数因子的时间）。

显然，y可能具有O（log y）素数因子。所以使用Pollard's rho factorization这就像O（y ^（1/4）+ log x * log y）

可以使用this theorem证明正确性：

Answer 3

对于i到1的每个x，请更新y /= gcd(y, i)。最后的可分性检查是y == 1。