Question

如何在SAGE中的有限域F（p）上找到椭圆曲线的最小y坐标y ^ 2 = x ^ 3 + ax + b，其中a和b大约为10 ^ 15的数量级且整数p非常大约10 ^ 45的量级？我需要在SAGE中找到它并且我一直在尝试很多方法。我发布了一些代码：

    maxtime=120960000
    p = 976324781263478623476912346213469128736427364
    a = 783468734639429
    b = 98347874287423
    E = EllipticCurve(GF(p),[a,b])
    length =50
    for i in range(1,maxtime):
        e = ZZ.random_element(999999999999)
            if E.is_x_coord(I) == true:
                temp = E.lift_x(I)
                break
    i=0
    print 'P1:'
    print temp
    length=0
    t=50
    count=2
    p2=temp+temp
    while count < 10000000000:
        count=count+1
        p2=p2+temp
        if (p2[1]>0):
            if (ZZ(p2[1]) < ZZ(p-1)):
                if (p2[0] > 0):
                    if( ZZ(p2[0]) < ZZ(p-1)):
                        if E.is_x_coord(p2[0]) == true:
                            y2 = E.lift_x(p2[0])
                            length=len(str(y2[1]))
                            if length <=11:
                                print 'p2:'
                                print y2
                                print 'count:'
                                print count
                                break
                            if t > length:
                                t= length
                                print 'length:'
                                print t
                                print 'count:'
                                print count
                                print 'p2:'
                                print y2
    print 'failed:'

以上只是带有随机数的示例代码。任何建议或完全不同的想法也会非常有帮助。

非常感谢 J S

Answer 1

GF（p）的元素没有自然排序。至少y，我猜你的意思是整数的通常顺序。这是一个例子，p = 17，a = 11，b = 3。解是y = 3，x = 4。

sage: K = GF(17)
sage: a, b = 11, 3
sage: _.<X> = K[]
sage: P = X^3 + a*X + b
sage: next(((P - y^2).roots(), y) for y in K if (P - y^2).roots())
([(4, 1)], 3)
sage: 3^2 == P(4)
True

请注意您的p不是素数。

Answer 2

椭圆曲线E至少有p + 1-2p ^ {1/2}点，对于大p和1，（p + 1-2p ^ {1/2}）/ p几乎等于1这意味着平均每个y值都有一个x值，使得（x，y）位于椭圆曲线上。这意味着除非发生奇怪的事情，否则我会期望最小的y会非常小（我希望它大多数时候都是0,1或2）。这表明在实践中尝试从小到大的不同y值将是非常快的。但我没有证据证明它总是会非常快，因为如果确实发生了一些奇怪的事情并且最小的y实际上非常大，那将需要很长时间。

p = next_prime(976324781263478623476912346213469128736427364)
a = 7834684394239111322316457
b = 98347872833141
E = EllipticCurve(GF(p),[a,b])
Fx.<x> = GF(p)[]
f = x^3 + a*x + b
for y in GF(p):
    xs=(f-y^2).roots(multiplicities=False)
    if len(xs)>0:
        x = xs[0]
        P = E(x,y)
        print P
        break

在1/10秒内给予观点（544771569075032357553369359272826923818637077：1：1）。

我尝试了5000个a和b的随机值，使用上面的素数p和以下，你可以看到我多长时间得到y的哪个值为最小值。只是为了让你了解这在实践中有多好。

如何找到椭圆曲线的最小y坐标y ^ 2 = x ^ 3 +

2 个答案: