从m个给定节点计算距离小于k的所有节点的最佳方法

Question

给出了大小为n的图表，并给出了其节点的大小m的子集。从子集的所有节点中查找distance <=k的所有节点。

例如。 A-> B-> C-> D-> E是图，subset = {A，C}，k = 2.

现在，E与C的距离<= 2，但不是来自A，因此不应计算。

我想到从子集中的每个节点运行广度优先搜索，并考虑相应答案的交集 可以进一步优化吗？

我经历了很多关于SO的帖子，但是他们都指向我不理解的kd-trees，还有其他的方式吗？

Answer 1

我可以想到两个非渐近（我相信）的优化：

1. 如果您使用其中一个子集节点完成BFS，请删除距离为＆gt;的所有节点。从它开始
2. 从距离最大的子集中的两个节点开始，以获得最小的剩余图

当然，如果k很大（接近n），这没有任何帮助，在这种情况下我不知道。但我很肯定k / d树不适用于一般图表：）

Answer 2

Nicklas B的优化可以应用于以下两种优化。

优化＃1：修改BFS以在运行时而不是在后面执行交集。

BFS和交叉路口似乎是要走的路。但是，BFS正在进行减少工作。特别是，它正在扩展它不需要扩展的节点（在第一个BFS之后）。这可以通过将交叉点方面合并到BFS中来解决。

解决方案似乎是保留两组节点，称之为＃34; ToVisit＆＃34; ＆＃34;访问＆＃34;而不是标记访问过的节点。

BFS的新规则如下：

1. BFS仅扩展ToVisit中的节点。然后将它们从ToVisit移动到Visited以防止被扩展两次。
2. 算法返回Visited set，因为它的结果将丢弃ToVisit中剩余的任何节点。然后将其用作下一个节点的ToVisit集。
3. 第一个节点使用标准BFS算法，或者ToVisit是所有节点的列表。无论哪种方式，结果都成为第二个节点的第二个ToVisit集。

如果ToVisit集合平均较小，则效果会更好，这往往是m和k远小于N的情况。

优化＃2：如果有足够的查询，则预先计算距离，以便查询只进行交叉。 虽然，这与第一次优化不兼容。如果对不同的子集和k值有足够数量的查询，那么最好提前找到每对节点之间的距离，代价是O（VE）。

这种方式只需要进行交叉，即O（V * M * Q），其中Q是查询数，M是查询子集的平均大小，V是节点数。如果预期是O（M * Q）> 0的情况。 O（E），那么这种方法应该少工作。注意两个最远的节点是有用的，因为任何等于或大于等的k将始终返回所有顶点的集合，在这种情况下导致查询成本仅为O（V）。

然后应以四种形式存储距离数据。

• 第一个是＆＃34; kCount [A] [k] =距离A＆＃34;距离为k或更小的节点数。这提供了Niklas B的替代方案。建议＆＃34;从距离最大的子集中的两个节点开始，以获得最小的剩余图表＆＃34;在O（m）>的情况下， O（sqrt（V））因为找到最小值是O（m ^ 2）并且最好避免试图找到起始对的最佳选择并且选择一个好的选择。您可以从子集中的两个节点开始，该数据结构中给定k的值最小。您也可以按此指标对子集中的节点进行排序，并按此顺序执行交叉。

• 第二个是＆＃34; kMax [A] = A＆＃34;的最大k，可以使用散列图/字典来完成。如果k> =该值，那么除非kCount [A] [kMax [A]] <1，否则可以跳过该值。 （顶点数），意味着并非所有节点都可以从A到达。

• 第三个是＆＃34; kFrom [A] [k] =节点k与A＆＃34;的距离，因为k从0到最大距离有效，一个散列图/字典到一个数组/ list可以在这里使用，而不是嵌套的hashmap / dictionary。这样可以节省空间和时间***创建距离为＆lt; = k的节点集。

• 第四个是＆＃34; dist [A] [B] =从A到B＆＃34;的距离，这可以使用嵌套的hashmap / dictionary来完成。这允许相当快速地处理交叉检查。

* 如果空间不是问题，那么这个结构可以存储距离A的所有节点k或更小的距离，但这需要O（V ^ 3）空间，因此需要时间。然而，主要的好处是它还允许存储大于k距离的单独节点列表。这允许算法使用较小的集合，dist＆gt; k或dist＆lt; = k。在dist＆lt; = k的情况下使用交叉点并在dist＆lt; = k或交叉点的情况下设置减法，然后在主集具有最小化尺寸的情况下设置减法。

Answer 3

1. 添加一个新节点（让我们说s）并将其连接到所有m个给定节点。
2. 然后，从s中找到距离小于或等于k + 1的所有节点，并从中减去m。 T(n)=O(V+E)