Question

假设我们有一个无限的，完整的二叉树，其中节点的编号为1,2,3，......它们在树的逐层遍历中的位置。给定树中两个节点u和v的索引，我们如何才能有效地找到它们之间的最短路径？

谢谢！

Answer 1

@Jonathan Landrum在他的评论中指出了解决方案。这个答案充实了解决方案。

在任何树中，任意两个节点之间只有一条路径。因此，这个问题归结为确定这两个节点之间的唯一路径。

在任何有根树中，可以通过找到两个节点的最低共同祖先x，然后连接从u到x和从x到v的路径来找到两个节点u和v之间的最短路径。在你的情况下，因此，您需要找到两个节点的LCA，然后将这些路径粘合在一起。

由于你有一个无限的二叉树，我假设表示如下：

             1
       /             \
      2               3
    /   \           /   \
   4     5         6     7
  / \   / \       / \   / \
 8  9  10 11     12 13 14 15

如果用二进制编写所有数字，这个树形状有一个非常有趣的属性：

                  1
            /         \
        10                  11
    /         \         /         \
  100        101       110       111
 /   \      /    \    /   \     /   \
1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111

您可以注意到一些事情。首先，每个节点的深度由一个减去MSB的索引给出。

接下来，请注意，如果数字具有二进制表示b ₁ b ₂ ... b _n-1 b _n，然后它的父母是b ₁ b ₂ ... b _n-1，它是一个左边的孩子如果b _n = 0，则右子项b _n = 1.通过重复应用此属性，我们得到以下结果：节点u是v的第k个祖先并且只有(v >> k) = u。

这给了我们很多帮助。通常，您可以通过以下方式计算LCA（u，v）：

如果你比v深，从u向上走，直到你到达与v相同深度的节点（反之亦然，如果v更深，则从v上升）。
以相同的速度从u和v向上走，直到它们到达同一节点。该节点是LCA。

我们可以在时间O（log max {u，v}）中直接实现，如下所示。要执行步骤（1），计算u和v的MSB的索引以确定每个节点的深度d（u）和d（v）。让我们假设WLOG为d（v）≥d（u）。在这种情况下，我们可以通过计算v＆gt;＆gt;找到你在时间O（1）的相同深度的u的祖先。（d（u） - d（v））。漂亮！要执行步骤（2），我们比较u和v，如果它们不相等，则将每个左移一个点，模拟升级一个级别。我们可以执行此操作的最大次数由O（log max {u，v}）给出，因此总运行时间为O（log max {u，v}）。

但是，我们可以使用修改后的二进制搜索以指数方式加快速度。 u和v的LCA深度必须在0和min {d（u），d（v）}之间。一旦我们找到u和v的共同祖先x，我们知道x的所有祖先也是u和v的共同祖先。因此，我们可以对你和你的LCA的可能深度进行二分搜索，计算祖先的祖先。通过使用bitshift从该深度开始的每个节点。这将在时间O（log log max {u，v}）中运行，因为u的最大深度为O（log u），v的最大深度为O（log v）。

一旦我们找到了祖先，我们就可以按如下方式计算u和v之间的路径。计算从u到祖先的路径，反复从u移开一点直到我们到达共同的祖先。以相同的方式计算从v到祖先的路径，然后将该路径的反转添加到第一步中找到的路径。该路径的长度由O（| log u - log v |）给出，因此运行时为O（| log u - log v |）。

另一方面，如果你只需要路径的长度，你可以将从u到LCA（u，v）和从LCA（u，v）到v的距离相加。我们可以在O中计算这些值。（log log max {u，v}）每个时间，因此运行时为O（log log max {u，v}）。

希望这有帮助！

无限完整二叉树中两个节点之间的最短路径？

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