二阶中心有限差分近似

Question

这个问题可能听起来很数学，但它更像是一个与离散化有关的编程问题，所以我决定在这里提问。

问题是找到偏导数 u _xy 的二阶有限差分近似，其中 u 是 x 和 y 。

this pdf的第5页我发现中心差异在两个步骤中近似。它首先对其中一个局部进行二阶中心有限差分近似，然后将第二个局部的近似值插入其中（使用相同的公式）：

将第2行和第3行插入1给出（根据pdf）以下内容：

最后的O [（Δx） ² ，（Δy） ² ]是我遇到的问题。请注意，当第2行和第3行的O（Δy） ² 项进入1的分子时，它们被除以分母中的Δx。那么为什么第3行中的残余项是O（Δy） ² 而不是O（Δy ² /Δx）？这将是一个“二阶”逼近吗？ （例如，如果沿两个轴的网格间距相同（Δx=Δy= h），则该项为h ² / h = h，而不是h ² 。）

我的建议是在第2行和第3行使用更高阶近似（第3或更多），以便在除以Δx时存活，并且仍然具有第二阶的最终表达式。但我可能会在这里遗漏一些东西。

Answer 1

如果我没记错的话，如果你在泰勒扩展中写下更多的术语，很快就会发现更高阶的术语被取消了。也就是说，在（1）的分子中替换（2）和（3）之后得到的“O（dy）^ 2 - O（dy）^ 2”实际上变为零。

Answer 2

你有两个一阶斜率组合给出一阶平面。通过将两个斜率组合得到（∂u/∂x）*（∂u/∂y），你没有获得任何顺序。

这仍然是一阶逼近，如果需要，您需要在有限差分中使用更多的点来获得更高阶的项。

我认为（∂²u/∂x∂y）的符号令人困惑。使用两个一阶运算符的乘积来更清楚地了解正在发生的事情。