Question

给定一组跳过的数字，我需要找到集合中不存在的第N个数字。例如：

给定[1,4,5]一些结果：

对于N = 1结果0

对于N = 2结果2（因为跳过1）

对于N = 3结果3（因为跳过1）

对于N = 4结果6（因为1,4,5被跳过）

这应该适用于相当大的N，所以直截了当的解决方案并没有完全削减它=（

Answer 1

这样做的一种方法是建立一个辅助数组，告诉你，对于数组中的每个索引，它下面缺少值的数量。例如，在此数组中：

1 4 5 9 13  (Array A)

这个数组将是

1 4 5 9 13  (Array A)
1 3 3 6 9   (Array B)

您可以使用以下方法在时间O（n）中填写数组B：

B [0] = A [0]（你知道为什么吗？）
B [n + 1] = B [n] + A [n + 1] - A [n] - 1.这看起来很神秘，但实际上非常简单。位置n + 1之前缺失的总值的数量由位置n之前缺失的值的数量（即“B [n]”）加上位置A [n + 1]和A之间缺失的元素数量给出[N]。该值为A [n + 1] - A [n] - 1。

现在你可以做一个重要的观察：对于任何位置i，A [i]的值由B [i] + i给出。（在上面查看）。为什么是这样？那么，对于任何位置i，其下方缺少的数字是B [i]。在它之前还有我的数字，这意味着小于它的值的总数是B [i] + i。

现在你有了这个，你可以回答表格的问题＆＃34;第k个缺失的数字是什么？＆＃34;在时间O（log n）中使用以下算法：

在B数组中进行二进制搜索（请注意它已排序！）以找到严格大于k的第一个值。
如果该条目发生在位置0，则答案为k。这样做的原因是你要在数组中寻找第k个最小的缺失数，并且k小于数组中的第一个条目。因此，您想要的数字是k本身。
如果该条目发生在其他地方（例如，位置x），那么你知道x≠0，所以在它之前有一些位置，即位置x - 1.由于B [x - 1]≤k ，你知道你想要的值必须介于A [x - 1]和A [x]之间。如果然后从k中减去B [x]，则返回A [x - 1]和A [x]之间缺失数的索引。因此，您缺少的数字是A [x - 1] + k - B [x - 1] + 1。

例如，让我们采用早期的数组：

1 4 5 9 13  (Array A)
1 3 3 6 9   (Array B)

假设我们想要第5个最小的缺失值。我们的二进制搜索找到了这个位置：

1 4 5 9 13  (Array A)
1 3 3 6 9   (Array B)
      ^

备份一个位置需要我们：

1 4 5 9 13  (Array A)
1 3 3 6 9   (Array B)
    ^

答案应该是A [i] + k - B [i] + 1.这是5 - 3 + 5 + 1 = 8.这是正确的：

让我们做另一个：假设我们想要第6个。二进制搜索将我们带到这里：

1 4 5 9 13  (Array A)
1 3 3 6 9   (Array B)
        ^

备份一个地点：

1 4 5 9 13  (Array A)
1 3 3 6 9   (Array B)
      ^

我们想要A [i] + k - B [i] + 1 = 9 + 6 - 6 + 1 = 10.这确实是正确答案。

总的来说，这是O（n）预处理，查询可以在每个时间O（log n）中解决。

希望这有帮助！