高斯函数的尾部与Scipy的积分，给出零而不是8.19e-26

Question

我正在尝试集成高斯函数，限制在高斯尾部内部，所以尝试使用integrate.quad给我零。有没有办法整合高斯函数，假设给出极小的答案？

函数的被积函数是：

sigma = 9.5e-5
integrand = lambda delta: (1./(np.sqrt(2*np.pi)*sigma))*np.exp(-(delta**2)/(2*sigma**2))

我需要在10^-3到0.3

之间进行整合

使用Wolfram Alpha，我得到了8.19e-26的答案 但是随着Romberg对Scipy的整合，我得到了零。我可以在Scipy中旋转旋钮来整合这么小的结果吗？

Answer 1

设F(x; s)为正态（即高斯）分布的CDF 标准差s。你在计算 F(x1;s) - F(x0;s)，其中x0 = 1e-3和x1 = 0.3。

这可以改写为S(x0;s) - S(x1;s) S(x;s) = 1 - F(x;s) “生存功能”。

您可以使用sf norm对象的scipy.stats方法进行计算。

In [99]: x0 = 1e-3

In [100]: x1 = 0.3

In [101]: s = 9.5e-5

In [102]: from scipy.stats import norm

In [103]: norm.sf(x0, scale=s)
Out[103]: 3.2671026385171459e-26

In [104]: norm.sf(x1, scale=s)
Out[104]: 0.0

请注意norm.sf(x1, scale=s)给出0.此表达式的确切值为a 小于的数字可以表示为64位浮点值（正如@Zhenya在注释中指出的那样）。

所以这个计算给出了答案3.267e-26。

您还可以使用scipy.special.ndtr进行计算。 ndtr计算标准正态分布的CDF，并通过对称性S(x; s) = ndtr(-x/s)计算。

In [105]: from scipy.special import ndtr

In [106]: ndtr(-x0/s)
Out[106]: 3.2671026385171459e-26

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如果要使用数值积分获得相同的结果，则必须尝试积分算法的错误控制参数。例如，要使用scipy.integrate.romberg得到此答案，我调整了divmax和tol，如下所示：

In [60]: from scipy.integrate import romberg

In [61]: def integrand(x, s):
   ....:     return np.exp(-0.5*(x/s)**2)/(np.sqrt(2*np.pi)*s)
   ....: 

In [62]: romberg(integrand, 0.001, 0.3, args=(9.5e-5,), divmax=20, tol=1e-30)
Out[62]: 3.2671026554875259e-26

使用scipy.integrate.quad，它需要告诉它0.002是一个需要更多工作的“特殊”点的技巧：

In [81]: from scipy.integrate import quad

In [82]: p, err = quad(integrand, 0.001, 0.3, args=(9.5e-5,), epsabs=1e-32, points=[0.002])

In [83]: p
Out[83]: 3.267102638517144e-26

In [84]: err
Out[84]: 4.769436484142494e-37

Answer 2

是

>>> from scipy.special import erfc
>>> erfc(1e-3/9.5e-5/np.sqrt(2.))
6.534205277034387e-26

在尾部，你最好使用补充错误函数（erfc），或者可能是erfcx，这是由exp(x**2)缩放的补充错误函数。

Answer 3

感谢您的帮助，

经过更多的协商后，我进入了数值积分选项，在用c ++脚本检查后，我发现如果我在scipy.integrate.romberg设置divmax = 120，我得到的结果与我得到的相同Wolfram Alpha。

但是这个解决方案需要花费大量时间来计算。我将尝试使用错误函数来查看我是否能理解它..

干杯