一组点和轨道形状的中心

Question

我有点看起来像这样的点。

这些点形成的轨迹可以是圆形或椭圆形。显然，上面两幅图中圆形轨迹的中心是不同的。

如何找到这些轨道的中心点（圆形/椭圆形）？我想找到以中心为中心的（x，y）坐标，不一定必须是指出绘制的数据集。也就是说，我不想要一个中间体。

编辑：另外，无论如何我可以找到包围大部分这些点的圆/椭圆方程吗？在椭圆轨道中，我添加了一个包围点的椭圆在轨道上。通过反复试验计算出这些值。该中心也是通过对该阴谋进行计算来计算的。我该如何以编程方式执行此操作？

Answer 1

Smallest circle problem，这是smallest ellipse problem上的一篇论文（PDF下载）。两者都有O（N）算法，并且应该能够为您获得中心的圆和区域提供公式。但是，他们专注于封闭所有要点。要解决该问题，您需要删除一些边界点，您应该从算法中获取这些边界点。不幸的是，它取决于什么是一个足够好的解决方案。

快速简单的随机解决方案是：

1. 将每组点随机分成k组N / k个点。
2. 为每组
运行最小的圆/椭圆算法
3. 对于每个k集，从主点集中选择至少1个但不再有m个边界点。
4. 返回步骤1，t次。
5. 在剩余点上返回圆/椭圆算法的结果。

该算法以O（N）为代价在每次通过时删除k和mk个边界点。为了您的目的，您可能想要删除一些百分比的边界点，1-25％似乎是一个很好的起点。该解决方案假设k与N相比非常小，否则您将删除太多的点。

如果要重复从最小的椭圆中移除一个或所有边界点，重新计算最小的椭圆，然后再次移除边界点，则较慢但可能更好的算法非常有用。

您可以通过让父节点成为其子节点的最小封闭椭圆的边界点（作为集合存储的点以便于更快删除）来实现此目的。边界点的最大数量不应超过k（对于椭圆，我认为其为9，而圆形为3）。因此，在O（k log N）处从数据结构中移除一个点，因为它需要重新计算最小的圆，即受影响的每个父亲的O（k）是O（log N）。因此，从数据结构中删除m个点应为O（mk log N）。您可能还需要考虑每个移除点计算椭圆的面积，并删除每个点的成本为O（Nk log N），直到您只剩下三个点。然后，您可以分析区域数据以确定应使用的椭圆。一个简单的结果就是简单地使用椭圆，该椭圆的面积最接近所创建的所有椭圆的平均面积，但可能并不完全是您所寻求的。它也可能太慢，在这种情况下，我建议单次传递更快的算法。

Answer 2

这看起来像Robust Ellipse Fitting的一个实例。检查此文件：消除异常值 稳健的椭圆和椭球拟合http://arxiv.org/pdf/0910.4610.pdf。

惯性椭圆（惯性椭圆体的http://en.wikipedia.org/wiki/Moment_of_inertia#Inertia_ellipsoid的2D版本）提供了第一个粗略且简单的解决方案。它的中心只是质心，轴由2x2惯性矩阵的特征向量/值给出。