网络流 - 模拟水管网络

Question

我试图设计一种算法，该算法将模拟具有多个源和多个特定容量接收器的管道网络。

到目前为止，我已尝试使用经典的Ford-Fulkerson算法，但我遇到的问题是这个，给出如下图：

    S
    |
    a
   / \
  B   C

给定 S ，源容量为1， B和C ，接收容量为1 - 流量将产生S - a - B，饱和B到1并离开C流0。

我试图在整个网络中统一分配流量，以便 B和C都接收0.5 。有什么想法吗？

谢谢！

Answer 1

假设你有 n 来源 s ₁ ，...，s _n ，其源容量 c _i 和 m 汇 t ₁ ，...，t _m 。设 f = sum _i c _i 。我们希望在网络中找到一个可行的流，其中每个源 i 的净流量为 -c _i ，并且每个接收器都有净流量 f / m 。

我们可以通过引入超级源 S 和超级接收器 T 并将每个源 i 连接到来解决这个问题S 通过容量 c _i 的边（ s _i ，S）。我们通过容量 f / m 的边缘将每个 t _i 连接到T.然后我们只用源S运行max-flow并接收T。

如果无法将 f / m 流量单位精确地推送到每个接收器，则不清楚要优化的是什么，但您可能会发现以下两种方法非常有用：

• 选择 e 并通过容量 f / m + e 的边缘将接收器连接到T.使用二进制搜索查找最小 e ，使总流量 f 。这最小化 max _i 流入（t _i ）
• 选择 e 并通过下边界 e 将边线添加到T中。使用二进制搜索来查找仍允许可行流的最大 e 。这最大化 min _i 流入（t _i ）。具有下限的可行流问题可以减少到最大流量：http://www.cs.uiuc.edu/~jeffe/teaching/algorithms/2009/notes/18-maxflowext.pdf在这种情况下，构造非常简单：只需添加一个额外的超级源S'并通过容量边缘将S'连接到S em> m * e 。通过容量 e 的边缘将所有接收器连接到T.检查S'和T之间的最大流量是否 m * e

Answer 2

我是供水网络工程师。在对供水网络进行建模时，我通常将水源作为压力节点，将汇作为需求节点，因为水仿真软件可以求解水头或水流。我知道源头泵的能力和客户的消耗。用诸如Hazen-Williams或Darcy-Weisbach之类的水头损失方程来解决管道中的流动。

在您的示例中，在流量方面，汇的需求超出了源所提供的需求。 B和C的客户都将尝试打开尽可能大的水龙头，以满足他们1个单位的需求；但是假设从a到B的管道路径与从a到C的管道路径相同，则在B和C都尽最大努力使各自的末端流量最大化之后，这1个流量单位将平均分配。

但是由于不能满足2个单元的总需求的约束，因此模拟软件将无法解决。要么将水源更改为压力节点，以提供将2单位水送出所需的压力，要么应降低客户需求以匹配水源功能。在后一种情况下，目的是模拟从源头到汇点的水力坡度线。