Question

我正在尝试对矩阵执行一些符号计算（使用符号作为矩阵的条目），之后我会有一些可能的解决方案。我的目标是根据约束选择解决方案/解决方案。

例如，M是一个矩阵，其中一个元素为symbol。该矩阵将具有2个特征值，一个是正的，一个是负的。使用z3我试图找出唯一的负值，但我无法这样做，因为a被定义为一个符号，除非我将其转换为实际值，否则我不能将其写为约束。

我该怎么办？有没有办法将（符号）转换为实数或整数，以便我可以将其用作约束s.add(a>0)

from sympy import* 
from z3 import* 
from math import*

a=Symbol('a')

M=Matrix([[a,2],[3,4]]) m=M.eigenvals();

s=Solver()

s.add(m<0)
print(s.check())
model = s.model() print(model)

Answer 1

一种可能性是将sympy表达式转换为stings，修改它们以表示z3表达式，然后调用python的eval将它们计算为z3表达式。更确切地说：

将您的sympy表达式转换为字符串。您只需调用Python的str（）。
将不等式/等号添加到每个字符串（＆＃39;＆gt; 0＆＃39;，＆＃39;＆lt; 0＆＃39;，＆＃39;＆gt; = 0＆＃39;，或＆＃39;＆lt; = 0＆＃39;）。
将字符串上的所有不匹配项从sympy转换为z3。例如，更改所有出现的＆＃34; sqrt＆＃34;到＆＃34; z3.Sqrt＆＃34;。
调用Python的eval（），它接受这些字符串并将它们计算为z3表达式。
现在你在z3的世界里。

下面是我编写的一个函数，用于将来自sympy表达式的字符串列表转换为z3中的不等式系统。

import z3
import sympy

###################################
def sympy_to_z3(str_ineq_list, syms):
# converts a list of strings representing sympy expressions (inequalities)
# to a conjunction of z3 expressions in order to be processed by the solver
system_str = 'z3.And('
for str_ineq in str_ineq_list:
    system_str += str_ineq.replace('sqrt', 'z3.Sqrt') + ', '
system_str += ')'
for sym in syms:
    # this initializes the symbols (x1, x2,..) as real variables
    exec(str(sym) + ', = z3.Reals("' + str(sym) + '")')
system = eval(system_str)
return system

我并不特别喜欢这种方法，因为它涉及字符串操作以及对eval（）和exec（）的动态调用，如果你动态生成系统，这会使密集计算速度变慢，但这就是我可以来的用。

更多con转换字符串到z3表达式：

Answer 2

eval和exec的替代方法是遍历sympy表达式并构造相应的z3表达式。这是一些代码：

from z3 import Real, Sqrt 
from sympy.core import Mul, Expr, Add, Pow, Symbol, Number

def sympy_to_z3(sympy_var_list, sympy_exp):
    'convert a sympy expression to a z3 expression. This returns (z3_vars, z3_expression)'

    z3_vars = []
    z3_var_map = {}

    for var in sympy_var_list:
        name = var.name
        z3_var = Real(name)
        z3_var_map[name] = z3_var
        z3_vars.append(z3_var)

    result_exp = _sympy_to_z3_rec(z3_var_map, sympy_exp)

    return z3_vars, result_exp

def _sympy_to_z3_rec(var_map, e):
    'recursive call for sympy_to_z3()'

    rv = None

    if not isinstance(e, Expr):
        raise RuntimeError("Expected sympy Expr: " + repr(e))

    if isinstance(e, Symbol):
        rv = var_map.get(e.name)

        if rv == None:
            raise RuntimeError("No var was corresponds to symbol '" + str(e) + "'")

    elif isinstance(e, Number):
        rv = float(e)
    elif isinstance(e, Mul):
        rv = _sympy_to_z3_rec(var_map, e.args[0])

        for child in e.args[1:]:
            rv *= _sympy_to_z3_rec(var_map, child)
    elif isinstance(e, Add):
        rv = _sympy_to_z3_rec(var_map, e.args[0])

        for child in e.args[1:]:
            rv += _sympy_to_z3_rec(var_map, child)
    elif isinstance(e, Pow):
        term = _sympy_to_z3_rec(var_map, e.args[0])
        exponent = _sympy_to_z3_rec(var_map, e.args[1])

        if exponent == 0.5:
            # sqrt
            rv = Sqrt(term)
        else:
            rv = term**exponent

    if rv == None:
        raise RuntimeError("Type '" + str(type(e)) + "' is not yet implemented for convertion to a z3 expresion. " + \
                            "Subexpression was '" + str(e) + "'.")

    return rv

以下是使用代码的示例：

from sympy import symbols
from z3 import Solver, sat

var_list = x, y = symbols("x y")

sympy_exp = -x**2 + y + 1
z3_vars, z3_exp = sympy_to_z3(var_list, sympy_exp)

z3_x = z3_vars[0]
z3_y = z3_vars[1]

s = Solver()
s.add(z3_exp == 0) # add a constraint with converted expression
s.add(z3_y >= 0) # add an extra constraint

result = s.check()

if result == sat:
    m = s.model()

    print "SAT at x={}, y={}".format(m[z3_x], m[z3_y])
else:
    print "UNSAT"

运行此选项会产生解决约束y >= 0和-x^2 + y + 1 == 0：

的输出

SAT at x=2, y=3

如何一起使用Z3py和Sympy

2 个答案: