Question

我正在进行科学计算和C＃/ .NET中的可视化项目，我们使用double来表示所有物理量。由于浮点数总是包含一些舍入，我们有简单的方法来进行相等比较，例如：

static double EPSILON = 1e-6;

bool ApproxEquals(double d1, double d2) {
    return Math.Abs(d1 - d2) < EPSILON;
}

很标准。

但是，我们经常发现自己必须调整EPSILON的大小，因为我们遇到的情况是“相等”数量的误差大于我们的预期。例如，如果将5个大的double乘以5然后再划分，则会失去很多准确性。它已经达到了我们无法使EPSILON过大的程度，或者它会给我们带来误报，但我们仍然会得到假阴性。

一般来说，我们的方法是寻找更多数值稳定的算法，但该程序非常计算，而且我们能够做到这一点。

有没有人有任何好的策略来处理这个问题？我稍微研究了Decimal类型，但我对性能感到担忧，我对它的了解并不是很清楚它是否会解决问题或者只是模糊它。如果它能解决这些问题，我愿意接受Decimal的中等性能命中（比如2x），但性能肯定是一个问题，因为代码主要受浮点运算的限制，我不要认为这是一个无理的担忧。我看到人们引用了100倍的差异，这肯定是不可接受的。

此外，切换到Decimal还有其他复杂情况，例如Math库中普遍缺乏支持，因此我们必须编写自己的平方根函数。

有什么建议吗？

编辑：顺便说一下，我使用常数epsilon（而不是相对比较）的事实不是我的问题。我只是把它作为一个例子，它实际上不是我的代码的snippit。改变相对比较不会对问题产生影响，因为问题是由于数字变得非常大而后来又变小而失去精确度。例如，我可能有一个值1000，然后我对它进行一系列计算，这将导致完全相同的数字，但由于精度损失，我实际上有1001.如果我然后去比较这些数字，它不会如果我使用相对或绝对比较，那就更重要了（只要我以对问题和比例有意义的方式定义比较）。

无论如何，正如Mitch Wheat所说，重新排序算法确实有助于解决这些问题。

Answer 1

这不是.NET特有的问题。降低精度损失的策略是重新排序计算，以便将大量乘以小数量并加/减相似大小的数量（显然不会改变计算的性质）。

在你的例子中，不是将5个大数量相乘，然后除以5个大数量，重新排序以将每个大数量除以其中一个除数，然后将这5个部分结果相乘。

有兴趣吗？（如果您还没有阅读过）：What Every Computer Scientist Should Know About Floating-Point Arithmetic

Answer 2

当然，你最好的答案总是更好的算法。但在我看来，如果你的价值不在1的几个数量级之内，那么使用固定的epsilon并不是一个好策略。你想要做的是确保值在一定的合理精度内等于。

// are values equal to within 12 (or so) digits of precision?
//
bool ApproxEquals(double d1, double d2) {
    return Math.Abs(d1 - d2) < (Math.Abs(d1) * 1e-12);
}

如果这是C ++，那么你也可以分别用一些技巧来比较尾数和指数，但我想不出任何方法可以在无人值守的代码中安全地做到这一点。

Answer 3

由于通常表示实数的方式，您可以在C中执行此操作（可能在不安全的C＃中）：

if (llabs(*(long long)&x - *(long long)&y) <= EPSILON) {
    // Close enough
}

这显然是不可移植的，可能是一个坏主意，但它具有规模独立性的显着优势。也就是说，EPSILON可以是一些小常数，如1,10或100（取决于您所需的公差），它将正确处理比例舍入误差，无论指数如何。

免责声明：这是我自己的私人发明，并没有任何有线索的人（例如，具有离散算术背景的数学家）审查。

处理.NET中的浮点错误

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