预期散列时的空插槽数

Question

我有n个密钥和一个大小为n的哈希表。

我正在试图找出预期的空位数。

我知道统一的Hashing Assumption指出每个密钥都可能进入任何一个插槽。

到目前为止，我已经提出了n个密钥，每个密钥具有n个插槽的可能性，因此n ^ 2个可能的组合。

我不确定从哪里开始，正确方向的任何一点都将受到赞赏！ 谢谢。

Answer 1

首先，可能的组合数量不是n^2而是n^n，因为每个n键都有n个可能位于插槽中。

接下来，由于所有插槽都是对称的，因此预期的空插槽数E = n * P，其中P是每个单个插槽最终为空的概率。这是由linearity of expectation引起的，即使随机值依赖也是如此。

现在，请注意，单个键未落入此广告位的概率Q为Q = (n - 1) / n。

由于有n个密钥，因此固定广告位中没有密钥的概率P为Q ^ n。

总结一下，我们有E = n * ((n - 1) / n)^n。 (n - 1/n)^n的限制为1/e（see here），因此预期的空广告位数为n / e。