功率迭代

Question

我试图理解功率迭代来计算矩阵的特征值。

我遵循en.wikipedia.org/wiki/Power_iteration#The_method的算法：

from math import sqrt

def powerIteration(A):

    b = [random() for i in range(len(A))]
    tmp = [0] * len(A)

    for iteration in range(10000):

        for i in range(0, len(A)):
            tmp[i] = 0
            for j in range(0, len(A)):
                tmp[i] += A[i][j] * b[j]

        normSq = 0
        for k in range(0, len(A)):
            normSq += tmp[k] * tmp[k]
        norm = sqrt(normSq)

        for i in range(len(A)):
            b[i] = tmp[i] / norm

    return b

当我运行powerMethod([[0.0, 1.0], [1.0, 0.0]])时，它会返回一对随机数字，例如：[0.348454142915605, 0.9373258293064111]或[0.741752215683863, 0.6706740270266026]

问题＃1 - 为什么这些数字是随机的？显然我从随机向量b开始，但我希望它会收敛。

问题＃2 - 当我提供这个Online Matrix Calculator时：

0 1
1 0

它返回：

Eigenvalues:
( 1.000, 0.000i)
(-1.000, 0.000i)

Eigenvectors:
( 0.707, 0.000i) (-0.707, 0.000i)
( 0.707, 0.000i) ( 0.707, 0.000i)

如果我理解正确，返回b应该得到其中一个特征向量，但事实并非如此。为什么输出如此不同？

问题＃3 - 我应该在上面的算法中添加什么以便它返回一个特征值（在这个例子中它是1还是-1）？ （如果理解正确，幂迭代只返回一个特征值。）我如何实际计算一个特征值？

Answer 1

幂方法不会收敛于矩阵。

来自维基百科页面：

  

收敛是几何的，具有比率   | lambda_2 / lambda_1 |

Lambda_1和lambda_2是两个最高的绝对值特征值。在你的情况下，它们是1和-1所以收敛比是| 1 / -1 | = 1.换句话说，错误在每次迭代时保持不变，因此幂方法不起作用。

另一种理解这一点的方法是你的矩阵取一对（a，b）并将其反转成（b，a）。你得到的答案将取决于你是进行偶数还是奇数迭代。