如何在具有不同旋转的两个坐标系之间转换点

Question

想象一下，两个坐标系统相互叠加，两者之间存在旋转和比例差异：

问题是将一个点从非旋转系统转换为另一个。我们所拥有的是四个角点形成一个矩形，每个点都有两个系统的坐标。我们也知道旋转差异，我想我至少应该知道尺度差异。如何将点从非旋转系统转换为旋转系统？我正在使用Unity3D。

数学清晰度的额外要点：）

PS：我写这篇文章的时间太晚了，为了更清晰起见，稍后会进行编辑。

Answer 1

一些线性代数可以解决问题：

将每个操作表示为矩阵，并matrix multiply将它们组合成一个结果矩阵（为了提高效率）。

如果涉及翻译，则需要在矩阵中添加维度，请参阅homogenous coordinates。

原因是映射是仿射映射，而不是线性映射。您可以忽略最终结果中的额外维度。这是将仿射映射嵌入线性映射的一种很好的方法，因此代数更容易。

实施例

M = M_trans * M_rot * M_scale
x' = M x

此处的顺序是从右到左：矢量x首先缩放，然后旋转，然后转换为矢量x'。 （使用列向量）。

矩阵上的提示：Rotation Matrix，Scaling Matrix

在给定3D公式时导出2D公式：保持z = 0或从每个矩阵中删除第3行和第3列。