Question

不确定此问题是否应该在Math-Overflow上或此处，因此请先在此处尝试：

假设我们得到一个N 1和M 0的数字。

有（M + N）！/（M！* N！）不同的这样的数字，可以在可数集中排序。

例如，具有2个1和3个零的所有数字的有序集合是：

0 00011
1 00101
2 00110
3 01001
4 01010
5 01100
6 10001
7 10010
8 10100
9 11000

我们如何有效地计算相应集合中给定数字的索引？

注意：此问题的输入仅数字，不整个（相应）设置。

Answer 1

让choose (n, k) = n! / k! / (n-k)!。

观察排序集的以下结构：

0 0|0011 1 0|0101 2 0|0110 3 0|1001 4 0|1010 5 0|1100 ------ 6 1|0001 7 1|0010 8 1|0100 9 1|1000

在排序集中，总共有choose (N + M, M)个数字（长度为N + M的二进制字符串）。首先将数字从零开始，其中有choose (N + M-1, M-1)个。然后输入一个开头的数字，其中有choose (N-1 + M, M)个。这两个部分中的每一部分也都有分类。

所以，如果您的数字b ₁ b ₂ ... b _k以零开头（b ₁ = 0），其有序集合中的索引与所有二进制字符串{{的有序集合中的b ₂ ... b _k的索引相同1}}个和N个零。如果它以1开头（b ₁ = 1），则其在有序集合中的索引与b ₂的索引相同... b _{k < / sub>在M-1个和N-1个零的所有二进制字符串的有序集合中，加上以零开头的二进制字符串的总数，即{{1 }}}

通过这种方式，您递归地下降到涉及原始二进制字符串后缀的子问题，每当遇到1时，将所需数量增加一些。最后，您得到一个空二进制字符串，显然是一个，只包含0个零和0个的字符串。

Answer 2

这在组合算法中称为排名。这是一个C函数，可以帮助您：

unsigned long rank_choose(unsigned long n, unsigned long k, unsigned long c) {
  unsigned long res = 0;
  for (; n > 0; n--) {
    if (c & 1) { res += binomial(n-1, k); k--;}
    c >>= 1;
  }
  return res;
}

假设您有一个函数binomial(n, k)来计算系数n!/k!/(n-k)!。请注意，我在此提出的解决方案使用 endianess reverse 表示：

const int m = 5, n = 2;
int k = 12;
std::cout << std::bitset<m>(k) << " " << rank_choose(m, n, k) << std::endl;
k = 9;
std::cout << std::bitset<m>(k) << " " << rank_choose(m, n, k) << std::endl;

返回：

01100 2
01001 7

以下是另一个字节的解决方案：

unsigned long rank_choose_rev(unsigned long n, unsigned long k, unsigned long c) {
  unsigned long res = 0, mask = 1<<(n-1);
  for (; n > 0; n--) {
    if (c & mask) { res += binomial(n-1, k); k--;}
    mask >>= 1;
  }
  return res;
}

然后

01100 5
01001 3

注意：下面的@Gassa很好地描述了这些算法（给他+1）。

Answer 3

我将在一个例子的帮助下解释一个解决方案。假设有3 ones和3 zeroes，我们必须找到010110的索引

左起第一个位于第二个位置。因此，所有在其右边都有双零的数字应小于这个数字：

00---- (C(4,3)) = 4

现在将此位置放在其位置并移至下一个位置。下一个是在第4位。因此，以下所有数字应小于候选人：

0100-- (C(2,2)) = 1

现在将此位置放在其位置并移至下一个位置。下一个是在第5位。因此，以下所有数字应小于候选人：

01010- (C(1,1)) = 1

Hence the number of numbers less than the candidate = 4 + 1 + 1 = 6

000111
001011
001101
001110
010011
010101
010110

计算有序集合中给定数字的索引

3 个答案: